课时作业(五十二)椭圆一、选择题1.(2015·衡水一模)已知F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为()A.(-2,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)答案:D解析:由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时,取“=”.故应选D.2.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是()A.(0,3)B.C.(0,3)∪D.(0,2)答案:C解析:当k>4时,c=,由条件知<<1,解得k>;当0b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能答案:B解析:由题意,知e==,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=<2,∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.5.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,点A在椭圆上,且AF1垂直于x轴,AF1·AF2=c2,则椭圆的离心率e等于()A.B.C.D.答案:C解析:如图,由椭圆的几何性质可得|AF1|=,假设A在x轴上方,则A,而F1(-c,0),F2(c,0).故AF1=,AF2=,所以AF1·AF2=0×2c+×=.由题意可得=c2,所以b2=ac,即a2-c2=ac,也就是1-e2=e,解得e=或e=(舍).故应选C.6.(2013·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,①-②,得+=0,所以kAB==-=.又kAB==,所以=.又9=c2=a2-b2,解得b2=9,a2=18,所以椭圆E的方程为+=1.故应选D.二、填空题7.(2014·辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.答案:12解析:椭圆+=1中,a=3.如图,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6. D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.8.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆+=1上一动点,则|MA|+|MB|的最大值为________.答案:10+2解析:显然A是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A1(-4,0),连接BA1并延长交椭圆于M1,则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点M有|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当M1与M重合时取等号),∴|MA|+|MB|的最大值为2a+|A1B|=2×5+=10+2.9.已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当PF2·PA1取最小值时|PA1+PF2|的取值为________.答案:3解析:由已知得a=2,b=,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),则PF2·PA1=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,得PF2·PA1=x2+x+1=(x+2)2.又x∈[-2,2],所以x=-2时,PF2·PA1取得最小值.所以P(-2,0),求得|PF2+PA1|=3.10.(2015·合肥一模)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是________.答案:+=1解析:由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,∴圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,求得切点A,易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2).∴a2=b2+c2=5,故所求椭圆的方程是+=1.三、解答题11.(2014·新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF...