第二节直线与椭圆的综合问题课时作业练1.过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是.答案32.设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左,右焦点,若椭圆上存在一点P,使(⃗OP+⃗OF2)·⃗PF2=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是.答案1解析因为(⃗OP+⃗OF2)·⃗PF2=(⃗OP+⃗F1O)·⃗PF2=⃗F1P·⃗PF2=0,所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,又焦距2c=2√3,所以m2+n2=12,所以mn=2,所以S△F1PF2=12mn=1.3.已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为.答案√32解析因为直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点分别是(4,0)和(0,-2),所以由椭圆的相关知识可知a=4,b=2,所以c=√a2-b2=2√3,所以该椭圆的离心率为ca=√32.4.(2019江苏苏州模拟)已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F,下焦点为F1,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆相交于点A,B,C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=.1答案8解析因为两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,所以由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,∴|AF1|=|FD|,连接BF1,CF,同理|BF1|=|CF|,∴|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF1|+|BF|+|BF1|=4a=8.5.已知椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是以椭圆的短轴为直径的圆上任意一点,则⃗PF1·⃗PF2=.答案2n-m解析由题意可知在椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)中,b2=n,c2=m-n,则⃗PF1·⃗PF2=(⃗PO+⃗OF1)·(⃗PO-⃗OF1)=|⃗PO|2-|⃗OF1|2=b2-c2=n-(m-n)=2n-m.6.(2017徐州王杰中学高三月考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,直线l:y=13x与椭圆E相交于A,B两点,|AB|=2√10,则椭圆E的标准方程为.答案x212+y24=1解析根据离心率不妨设a=3m,b=√3m,c=√6m(m>0),则椭圆方程为x29m2+y23m2=1,与直线y=13x联立可得x2=274m2,x=±3√32m,|x1-x2|=3√3m,又√1+k2=√103,2所以由弦长公式得3√3m×√103=2√10,解得m=2√3,据此可得椭圆方程为x212+y24=1.7.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点,若椭圆的离心率为√22,焦距为2,则线段AB的长是.答案4√23解析由题意可知c=1,ca=√22,则a=√2,b=1,则椭圆方程为x22+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B(43,-13),或A(43,-13),B(0,1),则|AB|=4√23.8.已知动点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上,若A点的坐标为(3,0),|⃗AM|=1,且⃗PM·⃗AM=0,则|⃗PM|的最小值为.答案√3解析由|⃗AM|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,因为⃗PM·⃗AM=0,所以PM⊥AM,即PM为☉A的切线,连接PA(如图),则|⃗PM|=√|⃗PA|2-|⃗AM|2=√|⃗PA|2-1.因为P在椭圆上运动,所以|⃗PA|min=a-c=5-3=2,所以|⃗PM|min=√3.39.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且斜率为3的直线交椭圆E于P、Q两点,若△PF1F2为直角三角形且|PF1|<|F1F2|,则椭圆E的离心率为.答案√104解析由题意得PF1⊥PF2,设直线PQ的倾斜角为θ,由k=tanθ=3得,sinθ=3√1010,cosθ=√1010,所以|PF2|=6√1010c,|PF1|=2√1010c,从而|PF1|+|PF2|=4√105c=2a,所以e=ca=√104.10.(2018盐城田家炳中学期末)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(√3,12),左焦点为F(-√3,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若A是椭圆E的右顶点,过点F且斜率为12的直线交椭圆E于M,N两点,求△AMN的面积.解析(1)由椭圆的定义得√(√3+√3)2+14+12=2aa=2,⇒又c=√3,故b2=a2-c2=1,∴椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)过F(-√3,0)且斜率为12的直线方程为y=12(x+√3),由{y=12(x+√3),x24+y2=1得8y2-4√3y-1=0,4设M(x1,y1),N(x2,y2),则{y1+y2=√32,y1y2=-18⇒|y1-y2|=√52,又A(2,0),∴|AF|=2+√3,∴△AMN的面积=12|AF|·|y1-y2|=12×(2+√3)×√52=2√5+√154.11.(2017江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一))在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为√22,椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程;(2)过点D(√2,-√2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的斜率之和为定值.解析(1)由题意知c=1,e=ca=√22,所以a=√2,由a2=b2+c2可得b=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明:当直线PQ的斜率不存在时,不符合题意;当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y+√2=k(x-√2),代入x2+2y2=2中,得(1+2...
