2.3.1双曲线及其标准方程A级：基础巩固练一、选择题1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，P点的轨迹分别是()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线答案D解析依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故P点的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故P点的轨迹为一条射线．选D.2．已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为()A.B.C．4D.答案C解析因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.3．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的()答案C解析方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，与直线中a>0，b>0矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致，应选C.4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|＝()1A．4B．6C．2D．4答案B解析由双曲线方程得a2＝4，b2＝5，c2＝9，即c＝3，则焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)． 点P在双曲线C的右支上，且PF1·PF2＝0，∴△F1PF2为直角三角形．则|PF1＋PF2|＝2|PO|＝|F1F2|＝2c＝6.故选B.5．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是()A.＋＝1B.＋＝1C．x2－＝1D．x2－y2＝1答案D解析不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.可以验证，对于选项A，B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有D，由于a＝1，c＝，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1.6．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9答案D解析如图所示，因为a＝3，b＝4，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6.所以|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，所以－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝6＋1＋2＝9.2二、填空题7．若双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案6解析由已知a2＝m，b2＝3，∴m＋3＝9.∴m＝6.8．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________．答案解析不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.9．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的标准方程是________．答案－＝1解析如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a2＝.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝.所以双曲线E的标准方程是－＝1.三、解答题10．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．解设P的坐标为(x，y)． 圆P与圆C外切且过点A，∴|PC|－|PA|＝4. |AC|＝＝6＞4，∴点P的轨迹是以C，A为焦点，实轴长为2a＝4的双曲线的右支， a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．B级：能力提升练1．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．解(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a>0...
