课时作业24平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＋AD＝λAO，则λ＝()A．1B．2C．4D．6解析：根据向量加法的运算法则可知，AB＋AD＝AC＝2AO，故λ＝2.答案：B2．在△ABC中，AD＝2DC，BA＝a，BD＝b，BC＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－aB．c＝2a－bC．c＝－D．c＝－解析：依题意得BD－BA＝2(BC－BD)，BC＝BD－BA＝b－a.答案：D3．(2018·咸阳二模)对于非零向量a，b，“2a＋3b＝0”是“a∥b”成立的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：2a＋3b＝0⇔a＝－b⇒a∥b，但由a∥b不一定能得到a＝－b，故选A.答案：A4．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对解析：由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．答案：C5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：如图所示，可知AD＝AB＋(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c.答案：A6．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB＝a，AC＝b，则AD等于()A.a－bB．－a＋bC．－a＋bD.a＋b解析：如图，作DE⊥AB于点E，CF⊥DE于点F，由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝，因为BC＝AC－AB＝b－a，所以AD＝AE＋ED＝a＋BC＝a＋(b－a)＝－a＋b，故选B.答案：B7．(2017·新课标全国卷Ⅱ，文科)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|解析：方法一： |a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.答案：A8．(2018·贵州省适应性考试)已知向量e1与e2不共线，且向量AB＝e1＋me2，AC＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．mn＝1B．mn＝－1C．m＋n＝1D．m＋n＝－1解析：因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB＝λAC，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得，所以mn＝1.答案：A9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－C．1或－D．－1或－解析：由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.答案：B10．(2018·银川一模)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在的直线上D．P是AC边的一个三等分点解析： PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA＝2AP，∴P是AC边上靠近点A的一个三等分点．答案：D二、填空题11．下列与共线向量有关的命题：①相反向量就是方向相反的向量；②若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．解析：①不正确．相反向量满足方向相反，长度相等．②不正确，两向量不能比较大小；③不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线；④正确．答案：①②③12．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示)解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b13．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：由题意知存在常数t∈R，使λa＋b＝t(a＋2b)，得，解之得λ＝.答案：14．(2018·怀柔模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，e1＝，e2＝，若AC＝xe1＋ye2，则x＋y的值为________．解析：在矩形ABCD中，AB＝3，AC＝5，利用勾股定理可得AD＝4，因为e1＝，e2＝，...
