课时分层作业(九)椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为()A.B.∪C．D.B[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()【导学号：46342083】A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)D．(1,3)B[由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.]3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±B．±C．±D．±A[设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A.B.C．D.A[联立方程组可得得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝.∴kOP＝＝＝.故选A.]5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝()A.B．2C．D．3A[设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，1∴右焦点F(1,0)．由FA＝3FB，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.解得n2＝1，∴|AF|＝＝＝.]二、填空题6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.【导学号：46342084】[结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解．如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x轴得P.设E(0，m)，又PF∥OE，得＝，则|MF|＝.①又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.]7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________．6[由＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝－2时，OP·FP取得最大值6.]三、解答题9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.【导学号：46342085】2[解](1)联立方程组消去y，整理得：5x2＋2mx＋m2－1＝0. 直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，∴－≤m≤.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝. －≤m≤，∴0≤m2≤，∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．[解](1)由题意得解得c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝＝＝，又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.[能力提升练]1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则PF1·PF2的值等于()A．0B．2C．4D．－2D[由题意得c＝＝，又S＝2S＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S取最大值，此时∠F1PF2＝120°.3所以PF1·PF2＝|PF1|·|PF2|·cos120°＝2×2×＝－2.故选D.]2．已知椭...
