第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1
已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A
1,解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2,即x2+y2+z2≤,当且仅当时,取到最小值,所以联立可得x=,y=,z=
已知3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是()A
[-,0]C
[-5,5]解析:|3x+2y|≤
所以-≤3x+2y≤
已知a,b,c是正实数,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A
a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB
a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC
a3+b3+c30,则a2≥b2≥c2>0
由排序不等式,顺序和≥乱序和,有a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A
9解析:x+≥=9
当且仅当,即x=3,y=6,z=9时等号成立
已知a,b是给定的正数,则的最小值为()A
2a2+b2B
(2a+b)2D
4ab解析:=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sinα=cosα时,等号成立
2故的最小值为(2a+b)2
设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则+2的最大值是()A
解析:1=a+b+4c=()2+()2+(2)2=[()2+()2+(2)2]·(12+12+12)≥(+2)2·,∴(+2)2≤3,+2,当且仅当a=,b=,c=时,取等号
在锐角△ABC中,aNC
