3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分角及其坐标表示A级基础巩固一、选择题1．设向量a，b，c不共面，则下列可作为空间的一个基底的是()A．{a＋b，b－a，a}B．{a＋b，b－a，b}C．{a＋b，b－a，c}D．{a＋b＋c，a＋b，c}解析：由已知及向量共面定理，易知a＋b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底．答案：C2．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标是(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，12，10)D．(4，3，2)解析：OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.答案：A3．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底，但是当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量，因此p⇒/q，而q⇒p，故命题p是命题q的必要不充分条件．答案：B4．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若OC＝AB，则C的坐标是()A.B.C.D.解析：设点C坐标为(x，y，z)，则OC＝(x，y，z)．又AB＝(－3，－2，－4)，OC＝AB，所以x＝－，y＝－，z＝－.答案：A5．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN为()A.a＋b＋cB.a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c答案：C二、填空题6．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________．1解析：a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，2，－3)．答案：(2，－4，5)，(1，2，－3)7．已知A，B，C，D，E是空间五点，若AB，AC，AD与AB，AC，AE均不能构成空间的一个基底，则有下列结论：①AB，AD，AE不能构成空间的一个基底；②AC，AD，AE不能构成空间的一个基底；③BC，CD，DE不能构成空间的一个基底；④AB，CD，EA能构成空间的一个基底．其中正确的有________个．解析：由题意，知空间五点A，B，C，D，E共面，故①②③正确，④错误．答案：38．如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记AB＝a，AC＝b，AA＝c，则DE＝________(用a，b，c表示)．答案：a＋b三、解答题9．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．解：M(1，－2，3)关于坐标平面xOy，xOz，yOz对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M(1，－2，3)关于x轴、y轴、z轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M(1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．10．如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；(2)AM；(3)AN.解：连接AC，AD′.(1)AP＝(AC＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′)＝(a＋b＋c.)(2)AM＝(AC＋AD′)＝(AB＋2AD＋AA′)＝(a＋2b＋c)．(3)AN＝(AC′＋AD′)＝[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝(AB＋2AD＋2AA′)＝a＋b＋c.B级能力提升21．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间一组基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC答案：C2．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．解析：构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以选择的．答案：③④⑤(不唯一，也可以有其他的选择)3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA1，AB1，A1C1的坐标．解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以DC，DA，DD1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示则：A，A1，B1，C1，所以AA1＝(0，0，2)，AB1＝，A1C1＝.3
