高中数学 5.5 运用不等式求最大（小）值 5.5.2 利用柯西不等式求最大（小）值同步测控 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.函数y=xx3252的最大值为()A.3B.3C.2D.2解析:y2=(xx26252)2≤［12+(2)2］［(52x)2+(x26)2］=3,∴y≤3.答案:B2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为()A.2B.2C.3D.3解析:∵(2x+y)2=(2·x2+y)2≤［(2)2+1］［(x2)2+y2］=3(2x2+y2)=3,∴2x+y≤3.答案:C3.已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为()A.750B.25C.5D.10解析:∵(3x+y)2≤(yx22233)2≤［(3)2+(22)2］·［(3x)2+(2y)2］=27(3x2+2y2),∴3x2+2y2≥72×25=750.答案:A4.已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+,则ccbbaa333222的最小值为()A.3B.1C.31D.21解析:∵(ccbbaa333222)［(3-a)+(3-b)+(3-c)］≥a+b+c=3,而(3-a)+(3-b)+(3-c)=9-(a+b+c)=6,∴ccbbaa333222≥2163.1答案:D5.a12+a22+…+a102=6,x12+x22+…+x102=24,则a1x1+a2x2+…+a10x10的最大值为()A.6B.12C.24D.144解析:∵(a12+a22+…+a102)(x12+x22+…+x102)≥(a1x1+a2x2+…+a10x10)2,∴a1x1+a2x2+…+a10x10≤246=12.答案:B6.已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为()A.6B.36C.12D.24解析:∵(x+2y+3z)2=(zyx33221)2≤［12+(2)2+(3)2］·［x2+(y2)2+(z3)2］=6(x2+2y2+3z2),∴x2+2y2+3z2≥6.答案:A7.已知a+b+c+d=2,则22222222addccbba的最小值为()A.2B.2C.1D.4解析:∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2,∴)(2222baba.同理)(2222cbcb,)(2222dcdc,)(2222adad,∴2222222222addccbba(a+b)+22(b+c)+22(c+d)+22(d+a)=22×2(a+b+c+d)=2,∴最小值为2.答案:B8.已知12x+232y+343z=9,则x+y+23z的最小值为()A.3B.1C.2831D.-1解析:∵(43332212zyx)2≤(12+22+32)［(2x+1)+(2y+3)+(3z+4)］=14(2x+2y+3z+8)=28(x+y+23z+4),∴x+y+23z+4≥2881.2∴x+y+z23≥2881-4=-2831.答案:C我综合，我发展9.(a+b+c)(a1+b1+c1)的最小值为______________(a、b、c∈R+).解析:(a+b+c)(a1+b1+c1)≥(ccbbaa111)2=9.答案:910.a、b、c、d∈R+,则(ba+cb+dc+ad)(ab+bc+cd+da)的最小值为_______________.解析:利用柯西不等式,原式≥(1+1+1+1)2=16.答案:1611.若a+b+c+d=1,且a、b、c、d∈R+,则ddccbbaa11112222的最小值为__________.解析:∵［(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)］(aa12+bb12+cc12+dd12)≥a+b+c+d=1,∴aa12+bb12+ddcc1122≥51.答案:5112.已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:nxxx11121≥n.证明:∵(x1+x2+…+xn)(nxxx11121)≥(1+1+…+1)2=n2,又∵x1+x2+…+xn=n,∴11x+21x+…+nx1≥n.13.已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值.解:S2=(x+2y+3z)2=［21(2x)+2·y+)5(53z］2≤［(21)2+22+(53)2］［(2x)2+y2+(5z)2］=(21+4+59)(2x2+y2+5z2)=1063(2x2+y2+5z2)=1063×3=10189,3∴S≤10189.∴S的最大值为10189.我创新，我超越14.求三个实数x、y、z,使得它们同时满足下列等式:2x+3y+z=13,①4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.②分析:可先观察两等式之间的联系,再进一步变形.解:①+②,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95,即(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108.由①得2x+(3y+3)+(z+2)=18,∴182=［(2x)+(3y+3)+(z+2)］2≤(12+12+12)［(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2］=108×3.当且仅当2x=3y+3=z+2=6时取“=”.∴x=3,y=1,z=4.15.已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式xzzyyx111≤λ恒成立,求λ的取值范围.分析:本题的已知条件为x+y+z=xyz,所证的不等式中有和,需要转化为积,由平均不等式转化.解:∵x、y、z为正数,∴yx1+xzzy11≤xzyzxy212121=21(xzyzxy111)zyxxyz=21(zyxyzyxxzyxz)≤21［(12+12+12)21(zyxyzyxxzyxz)21=23,∴λ的取值范围为［23,+∞).4