第1课时椭圆的简单几何性质[A基础达标]1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.所以2a＝10，2b＝6，＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是()A.＋＝1或＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a＝5且c＝3，所以b＝4，所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是()A.＋＝1或＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.故选C.4．已知焦点在x轴上的椭圆：＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±，0)，不妨设A，可得＋＝1，解得a＝2，椭圆的离心率为e＝＝.故选A.5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C.在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，根据余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，配方得(m＋n)2－3mn＝4c2，所以3mn＝4a2－4c2，所以4a2－4c2＝3mn≤3·＝3a2，即a2≤4c2，故e2＝≥，解得≤e＜1.故选C.6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－)，故c＝，又2b＝4，所以b＝2，a2＝b2＋c2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点1的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝＝，故c＝3，所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．已知点P(a，b)，△F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e＝________．解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，由题意得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.把b2＝a2－c2代入，整理得2＋－1＝0，解得＝－1(舍去)或＝.所以e＝＝.答案：9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，所以e＝＝＝，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知所以从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所以＝，所以＝，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以＝.所以e＝＝.[B能力提升]11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C.由题意得F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)，OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋＝(x0＋2)2＋2，当x0＝2时，OP·FP取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．2解析：由题意得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得BF·CF＝·＝c2－＋＝0⇒3c2＝2a2⇒e＝.答案：13．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c...
