第8练平面向量[明晰考情]1命题角度：平面向量数量积的运算，利用向量判定直线的位置关系、求夹角或距离，另外还可以和函数、数列、几何等交汇考查.2题目难度：中低档难度.考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)向量共线定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点、连终点.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.1.(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.答案－3解析因为ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以解得故m－n＝－3.2.(2018·江苏南京金陵中学模拟)设向量a＝，向量b＝，且a∥b，则锐角α的值为________.答案解析因为a∥b，所以×－tanα×cosα＝0，即sinα＝，又α为锐角，所以α＝.3.已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，OC＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为________.答案解析过C作CE⊥x轴于点E.由∠AOC＝，得OE＝CE＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，1所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.4.在△ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM＝3CM，若AM＝xAB＋yAC，则x－y＝________.答案－2解析因为AM＝AC＋CM＝AC＋BC，又BC＝AC－AB，所以AM＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB，所以x＝－，y＝，则x－y＝－2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)a·b＝|a||b|cosθ.(2)|a|2＝a·a；cosθ＝.方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.5.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________.答案a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a2×＝a2.6.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________.答案解析由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又 |a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0，∴cosθ＝.又 0≤θ≤π，∴θ＝.7.在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0，－1)，P是曲线y＝上一个动点，则BP·BA的取值范围是__________.答案[0,1＋]解析由题意知，y＝表示以原点为圆心，1为半径的上半圆.设P(cosα，sinα)，α∈[0，π]，BA＝(1,1)，2BP＝(cosα，sinα＋1)，所以BP·BA＝cosα＋sinα＋1＝sin＋1，因为0≤α≤π，所以≤α＋≤，所以0≤BP·BA≤1＋，所以BP·BA的取值范围是[0,1＋].8.(2018·江苏南京金陵中学期末)如图，在平面四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，且OB＝10，OD＝6.若DA·DC＝－28，则BA·BC的值为________.答案36解析如图，M为FG的中点，EF＋EG＝2EM，①EG－EF＝2MG.②把①式和②式两边平方并相减，得EF·EG＝|EM|2－|MG|2，该结论称为极化恒等式.所以DA·DC＝|DO|2－|AO|2＝－28，所以|AO|2＝64，故BA·BC＝|BO|2－|AO|2＝36.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.9.已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.答案解析由已知可得≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.10.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________.答案解析由题意知，|AB|＝3，|AC|＝2，3AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，∴AD·AE＝·(λAC－AB)＝AB·AC－AB...
