课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),结合四个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(1,2).2.(2015·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是()A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=,a>0,再根据f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).3.(2015·合肥模拟)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为()A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log2x与y=x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,所以f(x)=所以g(x)=由解得x1=3,x2=1,由解得x=-2-,故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x2
0时,f(x)=2015x+log2015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2015x+log2015x在区间(0,)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=.【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)=-1+ln2,由于ln21,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.答案:2【加固训练】若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-∞,-1)【解析】选A.令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分01两种情况,在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax-x-a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点,根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求.三、解答题9.(10分)已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a:(1)判断命题:“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.【解析】(1)“对于任意的a∈R,方程f(x)=1必有实数根”是真命题;依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得:.故实数a的取值范围为.【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】1.是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在...
