课时跟踪检测(十五)导数与函数的单调性一、题点全面练1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝－x＋lnx解析：选B对于A，f(x)＝sin2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞0，得x＞或x＜－，∴函数f(x)＝x3－x在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，∴函数f(x)＝－x＋lnx在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是()解析：选A设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，4]C．(－∞，8]D．[－2,4]解析：选Bf′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex， 函数f(x)在区间上单调递增，∴x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，即(x＋1)c≤x2＋2x＋5对任意x∈恒成立，∴c≤对任意x∈恒成立， x∈，∴＝x＋1＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]解析：选A f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x＞0)，由x－≤0，得0＜x≤3，∴f(x)在(0,3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，设a＝f，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜b＜c解析：选A 函数f(x＋1)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f＝f，b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)．又 当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，∴当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cosx－1≤0，即f(x)＝sinx－x在(1，＋∞)上为减函数，∴b＜a＜c.6．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________________．解析：由f(x)图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0,在上f′(x)＜0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)．答案：∪[2，＋∞)7．(2019·岳阳模拟)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．解析： 函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，∴f′(x)＝2x－ex－a＞0，即a＜2x－ex有解．设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，则当x＜ln2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，当x＞ln2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴当x＝ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，∴a＜2ln2－2.答案：(－∞，2ln2－2)8．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，所以f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)＝ex－ax－1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性．解：(1) a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1，∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0.∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.(2) f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.易知f′(x)＝ex－a在(0，＋∞)上单调递增．∴当a≤1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞1时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna，∴当0＜x＜lna时，f...
