课时作业12数的概念的扩展时间:45分钟满分:100分一、选择题(本大题共7个小题,每小题5分,共35分)1.复数(1+)i的虚部是()A.1B.C.0D.1+【答案】D【解析】不要受a+bi形式的影响,该复数中a=0,b=1+.2.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论正确的是()A.A∪B=CB.A=BC.A∩(∁SB)=∅D.(∁SA)∪(∁SB)=C【答案】D【解析】∁SA={虚数},∁SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数.3.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是()A.3-3iB.3+iC.-+iD.+i【答案】A【解析】注意i2=-1,所以3i2+i=-3+i,其实部为-3,虚部为;3i-的虚部为3,实部为-,故所求复数为3-3i.4.若x、y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x=0,y=0时,x+yi是实数.5.下列命题中:①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④两个虚数不能比较大小.其中,正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④【答案】D【解析】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时为纯虚数.在①中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,①错误;在③中,若x=-1,(x2-1)+(x2+3x+2)i=0,不是纯虚数,故③错误;1两个虚数不能比较大小,故②错误,④正确.6.已知a,b∈R,下列结论正确的是()A.a=0⇔a+bi为纯虚数B.b=0⇔a+bi为实数C.方程x2+1=0的解为iD.-1的平方根等于i【答案】B【解析】对于z=a+bi,当a=0且b≠0时为纯虚数,故A错;方程x2+1=0的解有两个x1=i,x2=-i,故C错;-1的平方根为±i,故D错.7.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠2【答案】C【解析】解法一:(验证排除)a=-1时,复数为i,是纯虚数,∴a≠-1,排除A,D;a=2时,复数为实数0,∴a=2,排除B,故选C.解法二:(直接法)若复数不是纯虚数,则有,或a2-a-2≠0,解得a≠-1.二、填空题(本大题共3个小题,每小题7分,共21分)8.若(m2-m)+(m2-3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为________.【答案】0【解析】由题意,得,解得m=0.9.若复数cos2θ+i(1-tanθ)(θ∈R)为纯虚数,则θ的值是________.【答案】θ=kπ-(k∈Z)【解析】由于复数cos2θ+i(1-tanθ)(θ∈R)为纯虚数,故其实部为零,虚部不为零,即,由cos2θ=0可得cos2θ-sin2θ=0,即tan2θ=1.∴tanθ=±1,而1-tanθ≠0,∴tanθ=-1.∴θ=kπ-(k∈Z).10.若复数z=(m2-5m+6)+(m-3)i是实数,则实数m=________.【答案】3【解析】由题意,得m-3=0,∴m=3.三、解答题(本大题共3个小题,11,12题每小题14分,13题16分,共44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.复数z=+(m2+2m-8)i(m∈R),当m为何值时,z为虚数.【解析】由题意,得,即,∴m≥3或m≤-1且m≠-4.2故当m≥3或m≤-1且m≠-4时,z为虚数.12.已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】(1)当z为实数时,则,∴,∴当a=6时,z为实数.(2)当z为虚数时,则有,∴,∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.(3)当z为纯虚数时,则有,∴,∴不存在实数a使z为纯虚数.13.复数z=log2(x2-5x+4)+ilog2(x-3),当x为何实数时,(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)即此时无解.∴不存在x使z∈R.(2)z为虚数,则∴∴x>4.∴当x>4时,z为虚数.(3)即由①,得x=或x=,由②,得x>3;由③,得x≠4.∴当x=时,z为纯虚数.3