高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 课时作业12 4.1.1 数的概念的扩展（含解析）北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题VIP免费

课时作业12数的概念的扩展时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．复数(1＋)i的虚部是()A．1B.C．0D．1＋【答案】D【解析】不要受a＋bi形式的影响，该复数中a＝0，b＝1＋.2．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(∁SB)＝∅D．(∁SA)∪(∁SB)＝C【答案】D【解析】∁SA＝{虚数}，∁SB包括实数和除去纯虚数以外的虚数．3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是()A．3－3iB．3＋iC．－＋iD.＋i【答案】A【解析】注意i2＝－1，所以3i2＋i＝－3＋i，其实部为－3，虚部为；3i－的虚部为3，实部为－，故所求复数为3－3i.4．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．5．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，①错误；在③中，若x＝－1，(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故③错误；1两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．6．已知a，b∈R，下列结论正确的是()A.a＝0⇔a＋bi为纯虚数B.b＝0⇔a＋bi为实数C．方程x2＋1＝0的解为iD.－1的平方根等于i【答案】B【解析】对于z＝a＋bi，当a＝0且b≠0时为纯虚数，故A错；方程x2＋1＝0的解有两个x1＝i，x2＝－i，故C错；－1的平方根为±i，故D错．7．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2【答案】C【解析】解法一：(验证排除)a＝－1时，复数为i，是纯虚数，∴a≠－1，排除A，D；a＝2时，复数为实数0，∴a＝2，排除B，故选C.解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有，或a2－a－2≠0，解得a≠－1.二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)8．若(m2－m)＋(m2－3m＋2)i是纯虚数，则实数m的值为________．【答案】0【解析】由题意，得，解得m＝0.9．若复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，则θ的值是________.【答案】θ＝kπ－(k∈Z)【解析】由于复数cos2θ＋i(1－tanθ)(θ∈R)为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即，由cos2θ＝0可得cos2θ－sin2θ＝0，即tan2θ＝1.∴tanθ＝±1，而1－tanθ≠0，∴tanθ＝－1.∴θ＝kπ－(k∈Z)．10．若复数z＝(m2－5m＋6)＋(m－3)i是实数，则实数m＝________.【答案】3【解析】由题意，得m－3＝0，∴m＝3.三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．复数z＝＋(m2＋2m－8)i(m∈R)，当m为何值时，z为虚数．【解析】由题意，得，即，∴m≥3或m≤－1且m≠－4.2故当m≥3或m≤－1且m≠－4时，z为虚数．12．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解析】(1)当z为实数时，则，∴，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有，∴，∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有，∴，∴不存在实数a使z为纯虚数．13．复数z＝log2(x2－5x＋4)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？【解析】(1)即此时无解．∴不存在x使z∈R.(2)z为虚数，则∴∴x>4.∴当x>4时，z为虚数．(3)即由①，得x＝或x＝，由②，得x>3；由③，得x≠4.∴当x＝时，z为纯虚数．3