课时分层作业(十八)平面向量的坐标(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于()A．(－2，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)[答案]D2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于()A．2B．C．－2D．－A[∵a∥b，∴2cosα×1＝sinα.∴tanα＝2.故选A.]3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2，1B．1，－2C．2，－1D．－1，2D[由解得]4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2D[a＋b＝(1，1)＋(2，x)＝(3，x＋1)，4b－2a＝4(2，x)－2(1，1)＝(6，4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0.即12x－6－6x－6＝0，解得x＝2.]5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)D[由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)，4a＋(3b－2a)＝－c，所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c，所以c＝(4，－6).]二、填空题6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________．2[因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3).又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，所以2×－3k＝0，解得k＝2.]7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且MP＝MN，则点P的坐标为________．1(－1，－4)[设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4).]8．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．(－6，21)[因为Q是AC的中点，所以PQ＝PA＋PC.所以PC＝2PQ－PA＝2(1，5)－(4，3)＝(－2，7).又因为BP＝2PC，所以BC＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21).]三、解答题9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE＝AC，BF＝BC.求证：EF∥AB.[证明]设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).依题意，得AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)，AB＝(4，－1).∵AE＝AC，∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，∴点E的坐标为.同理，点F的坐标为.∴EF＝.∵×(－1)－4×＝0，∴EF∥AB.10．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2).(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．[解](1)设B(x1，y1)，因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，所以所以所以B(3，1).同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M.(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).又PB＝λBD(λ∈R)，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以所以1．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N等于()2A．{(1，1)}B．{(1，1)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅C[令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2).∴解得故M与N只有一个公共元素(－2，－2).]2．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13C[设C点坐标(6，y)，则AB＝(－8，8)，AC＝(3，y＋6).∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________．[∵AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝.]4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d).设m＝(p，q)，若(1，2)⊗m＝(5，0)，则(1，2)⊕m等于________．(2，0)[由(1，2)⊗m＝(5，0)，可得解得所以(1，2)⊕m＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0).]5．已知向量u＝(x，y)和向量ν＝(y，2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标；(3)对任意向量a，b及常数λ，μ，证明f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).[解](1)由条件可得u(x，y)――→ν(y，2y－x)，则f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5).∴解得，即c＝(3，4).(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2)，又λf(a)＝λ(y1，2y1－x1)＝(λy1，2λy1－λx1)，μf(b)＝μ(y2，2y2－x2)＝(μy2，2μy2－μx2).∴λf(a)＋μf(b)＝(λy1＋μy2，2λy1＋2μy2－λx1－μx2).∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b).3
