第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2016，全国卷Ⅰ，13,5分(向量的几何意义)2016，全国卷Ⅱ，3,5分(向量数量积的坐标运算)2016，全国卷Ⅲ，3,5分(向量夹角问题)2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算)2015，全国卷Ⅰ，15,5分(向量的数量积运算)高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值5～12分。微知识小题练自|主|排|查1．平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角。②范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°。③共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向共线；若θ＝180°，则a与b反向共线；若θ＝90°，则a与b垂直。(2)平面向量的数量积①定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。②几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角。①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。②模：|a|＝＝。③夹角：cosθ＝＝。④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0。⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·。3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)。(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。微点提醒1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。2．对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b。3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c。但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c不一定成立，原因是a·b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，b与c不一定相等。4．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。小|题|快|练一、走进教材1．(必修4P107例6改编)已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则a与b的夹角θ＝________。【解析】因为a·b＝|a||b|·cosθ，所以cosθ＝＝＝，又因为0°≤θ≤180°，故θ＝30°。【答案】30°2．(必修4P105例4改编)已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝________。【解析】由已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若互相垂直，则(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0，即5－25k2＝0，即k2＝，所以k＝±。【答案】±二、双基查验1．下列四个命题中真命题的个数为()①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2。A．4个B．2个C．0个D．3个【解析】a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0。故①命题错。 a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0。又 b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)。故②命题错误。 a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等。故③命题不正确。 (a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2。故④命题不正确。故选C。【答案】C2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则AB·AC＝()A．－B．－C.D.【解析】在△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，∴AB·...
