课后提升作业二十三函数的极值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知函数f(x),x∈R,且在x=1处,f(x)存在极小值,则()A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0【解析】选C.因为f(x)在x=1处存在极小值,所以x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0.2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.从f′(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右单调性依次为增→减→增→减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.3.下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.4.(2016·惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为()A.4B.3C.-3D.-4【解析】选A.y′=3x2-6,令y′>0,得x>或x<-,令y′<0,得-0;当x>0时,f′(x)<0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=≥=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”);6.(2016·沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(0,1)D.【解析】选C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令f′(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有00,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).7.(2016·广州高二检测)设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),则函数f(x)的各极大值2之和为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意,得f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′=2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f(x)递减,故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,又0≤x≤2015π,所以函数f(x)的各极大值之和为S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π==8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)=,f(e)=,则下列结论正确的是()A.f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值C.f(x)既有极大值又有极小值D.f(x)没有极值【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)=,所以[xf(x)]′=,所以xf(x)=(lnx)2+c.又因为f(e)=,所以e·=(lne)2+c,解得c=,所以f(x)=[(lnx)2+1]·,f′(x)=3=≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)在(0,+∞)上没有极值.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·银川高二检测)函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.【解析】因为f(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,则x=0或x=1,因为x∈,所以x=1,并且在x=1左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,所以函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为1.答案:1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.10.如果函数y=f(x)的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x)在区间内单调递增;②函数y=f(x)在区间内单调递减;③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.则上述判断中正确的是.【解析】由函数图象可知,在函数递增,在函数递减,在(3,5)函数递增,当x=-3时取得最小值,当x=-时取得极大值,...
