高考数学大二轮复习 第二部分 专题2 数列 增分强化练（十三）文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

增分强化练(十三)考点一利用递推关系或Sn、an的关系求an1．(2019·晋城模拟)数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.解析：因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，所以a39＝＝820.答案：8202．(2019·宝鸡模拟)若数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)，则an＝________.解析：当n＝1时，a1＝8.因为a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝8n，所以a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝8n－8，(n≥2)两式相减得2n－1an＝8＝23，所以an＝24－n(n≥2)，适合n＝1.所以an＝24－n.答案：24－n考点二数列求和1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．(1)求an；(2)若bn＝10－2n，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.解析：(1)设各项为正的公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且－a2,15，S3依次成等差数列．所以S3－a2＝30，即a1＋a1q2＝30解得q＝3或－3(负值舍去)．故an＝3·3n－1＝3n.(2)由于bn＝10－2n，则an＋bn＝3n＋10－2n，所以Tn＝(31＋32＋…＋3n)＋(8＋6＋…＋10－2n)＝＋＝－n2＋9n－.2．(2019·湛江模拟)Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝－n2＋n.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋(n－1)2－(n－1)＝－n＋11，当n＝1时，满足上式，∴an＝－n＋11.(2)由an＝－n＋11，可得bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－－.3．(2019·汕头模拟)记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝19，Sn＝nan＋1＋n(n＋1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．解析：(1)当n≥2时，因为Sn＝nan＋1＋n(n＋1)，①所以Sn－1＝(n－1)an＋n(n－1)，②①－②得：an＝nan＋1－(n－1)an＋2n，即an＋1－an＝－2(n≥2)，又S1＝a2＋2即a2－a1＝－2，所以数列{an}是以19为首项，－2为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)·(－2)＝21－2n.(2)由(1)知an＝21－2n，所以bn＝|an|＝|21－2n|，因为当n≤10时an>0，当n>10时an<0，所以bn＝，所以T20＝b1＋b2＋…＋b20＝(19＋17＋…＋1)＋(1＋3＋…＋19)＝2(19＋17＋…＋1)＝2×＝200.考点三数列的应用与综合问题(2019·三明质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证≤4Tn<.解析：(1)因为an＋1＝Sn＋2，①所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2，②①－②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，即an＋1＝2an(n≥2)，又因为a2＝a1＋2＝4，即a2＝2a1，所以an＋1＝2an(n≥1)，即数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，所以an＝2·2n－1＝2n，an＋1＝2n＋1，则Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.(2)证明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，所以S3n＋2＝23n＋1，则bn＝log223n＋1＝3n＋1，则＝＝×，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝×＝－.因为>0，所以Tn<.又Tn＝＝，当n＝1时，Tn取得最小值为，所以≤Tn<，即≤4Tn<.