第3讲直线、圆与椭圆的综合运用[基础达标]1．方程＋＝1表示双曲线的充要条件是k∈________．[解析]易知k＋1≠k－5．由条件得(k＋1)(k－5)0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．[解析]设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，又O为线段F1F的中点，所以F1Q∥OM，所以F1Q⊥QF，F1Q＝2OM．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝．由椭圆的定义得QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，所以a＝＝c，故e＝＝．[答案]9．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．[解析]由题意知，直线l过原点，且与椭圆的两个交点的横坐标分别为－c，c，所以两个交点的坐标分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆方程得＋＝1，整理得c2(a2＋2b2)＝2a2b2，因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，即2a4－5a2c2＋2c4＝0，即2e4－5e2＋2＝0，解得e2＝2或e2＝，又0
