第3讲直线、圆与椭圆的综合运用[基础达标]1．方程＋＝1表示双曲线的充要条件是k∈________．[解析]易知k＋1≠k－5．由条件得(k＋1)(k－5)<0，解得－15，所以点P在圆C外，过圆心C作CM⊥AB于M，连结AC．易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则|CM|＝＝，|AM|＝＝．又点A恰好是线段PB的中点，所以|PM|＝3|AM|，在Rt△PMC中，|CM|2＋|PM|2＝|PC|2，即＋＝25，得180k2＝20，即k＝±，故直线l的方程为x±3y＋4＝0．[答案]x±3y＋4＝05．(2019·河北邯郸模拟改编)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么PF2是PF1的________倍．[解析]设线段PF2的中点为D，则OD＝PF1，OD∥PF1，OD⊥x轴，所以PF1⊥x轴．所以PF1＝＝＝．又因为PF1＋PF2＝4，所以PF2＝4－＝．所以PF2是PF1的7倍．[答案]76．(2019·广州调研改编)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点，则F1P·F2A的最大值为________．[解析]设向量F1P，F2A的夹角为θ．由条件知AF2为椭圆通径的一半，即AF2＝＝，则F1P·F2A＝|F1P|·cosθ，于是F1P·F2A要取得最大值，只需F1P在向量F2A上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以F1P·F2A＝|F1P|cosθ≤．1[答案]7．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．[解析]所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝．[答案]8．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．[解析]设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，又O为线段F1F的中点，所以F1Q∥OM，所以F1Q⊥QF，F1Q＝2OM．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝．由椭圆的定义得QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，所以a＝＝c，故e＝＝．[答案]9．(2019·江苏高考命题研究专家原创卷)已知斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．[解析]由题意知，直线l过原点，且与椭圆的两个交点的横坐标分别为－c，c，所以两个交点的坐标分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆方程得＋＝1，整理得c2(a2＋2b2)＝2a2b2，因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，即2a4－5a2c2＋2c4＝0，即2e4－5e2＋2＝0，解得e2＝2或e2＝，又00，10，所以对于任意k，k2>t2－t4...
