2.2.2间接证明课时目标1.结合已学过的数学实例了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点．1．间接证明________________的方法通常称为间接证明．常用的一种间接证明方法：反证法．2．反证法的证题步骤(1)反设——假设命题的________不成立，即假设原结论的________为真；(2)归谬——从__________________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出________结果；常见的归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形．(3)存真——由________结果，断定反设________，从而________原结论成立．一、填空题1．用反证法证明结论“a，b，c中至少有一个大于0”，应假设的内容是_____________．2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设为______________．3．用反证法证明命题“如果a，b∈N，a·b可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，应假设的内容是__________________．4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为____________．5．用反证法证明“形如4k＋3(k∈N*)的数不能化为两个整数的平方和”时，应假设____________________________________________．6．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．7．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________________”．8．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________．二、解答题9．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．10．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a、b、c中至少有一个大于0.能力提升11．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.1(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法中引出的矛盾结论，不是推理本身的错误，而是假定“结论的反面是正确的”引起的，从而否定了假设，原命题成立．3．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明时只要研究一种或很少的几种情形．答案知识梳理1．不是直接证明2．(1)结论反面(2)反设和已知条件矛盾(3)矛盾不真肯定作业设计1．a、b、c都不大于02．三内角都大于60°3．a、b都不能被5整除4．x＝a或x＝b5．形如4k＋3(k∈N*)的数能化为两个整数的平方和6．a≤b7．函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于08．a≤－2或a≥－1解析若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，则(a－1)2－4a2≥0，∴－1≤a≤.若方程x2＋2ax－2a＝0有实根．则4a2＋8a≥0，∴a≤－2或a≥0，∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a≤或a≤－2或a≥0.即a≤－2或a≥－1.9．证明假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.因为4(m2＋m)是偶数，所以4m2＋4m＋1为奇数，所以a2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，所以原命题成立，即a是偶数．10．证明设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.11．证明假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋)2＋y2＝0.由y≠0，得y2>0.又(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋y2>0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．12．(1)解设公差为d，由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，2即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．3
