高考达标检测（三十三）空间向量2综合——折叠、探索1．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，DA，DC，DM两两垂直，故以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.由题意易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，∴NE＝，AM＝(－1,0,1)． |cos〈NE，AM〉|＝＝＝，∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使ES⊥平面AMN，连接AE. AN＝(0,1,1)，可设AS＝λAN＝(0，λ，λ)，又EA＝，∴ES＝EA＋AS＝.由ES⊥平面AMN，得即故λ＝，此时AS＝，|AS|＝，经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.2．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3a，点P在AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AC交BC于点F.沿PE将△APE翻折成△A′PE，使得平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使得平面B′PF⊥平面ABC，如图2.(1)求证：B′C∥平面A′PE；(2)若AP＝2PB，求二面角A′PCB′的正切值．解：(1)证明：因为FC∥PE，FC⊄平面A′PE，PE⊂平面A′PE，所以FC∥平面A′PE.因为平面A′PE⊥平面ABC，且平面A′PE∩平面ABC＝PE，A′E⊥PE，所以A′E⊥平面ABC.同理B′F⊥平面ABC，所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE.又FC∩B′F＝F，所以平面B′CF∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE.(2)法一：因为AC＝BC＝3a，AP＝2PB，所以CE＝a，EA′＝2a，PE＝2a，PC＝a.如图，过E作EM⊥PC，垂足为M，连接A′M.由(1)知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC.所以∠A′ME即二面角A′PCE的平面角．在Rt△PEC中，由等面积法易得EM＝＝a，所以在Rt△A′EM中，可得tan∠A′ME＝＝＝.过F作FN⊥PC，垂足为N，连接B′N.同理可得∠B′NF即二面角B′PCF的平面角，且tan∠B′NF＝＝＝.设二面角A′PCB′的大小为θ，则∠A′ME＋θ＋∠B′NF＝π，所以tanθ＝－tan(∠A′ME＋∠B′NF)＝－＝，即二面角A′PCB′的正切值为.法二：易知EC，EP，EA′两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A′(0,0,2a)，B′(a,2a，a)．所以A′C＝(a,0，－2a)，A′P＝(0,2a，－2a)，B′C＝(0，－2a，－a)，B′P＝(－a,0，－a)．设平面A′CP的一个法向量为m＝(x，y,1)，则即解得所以平面A′CP的一个法向量为m＝(2,1,1)．设平面B′CP的一个法向量为n＝(x′，y′，1)，则即解得所以平面B′CP的一个法向量为n＝.设二面角A′PCB′的大小为θ，易知θ为锐角，则cosθ＝＝＝，从而可得tanθ＝，即二面角A′PCB′的正切值为.3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E为AB的中点．(1)求证：AN∥平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，连接NB交MC于点F，连接EF.由已知可得四边形BCNM是平行四边形，∴F是BN的中点，又E是AB的中点，∴AN∥EF.又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，∴AN∥平面MEC.(2)假设线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为.在AM上取一点P，连接EP，CP.由于四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，E是AB的中点，可得DE⊥AB，所以DE⊥CD.因为四边形ADNM是矩形，所以DN⊥AD.又平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，∴DN⊥平面ABCD，以DE，DC，DN所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(，0,0)，C(0,2,0)，P(，－1，h)，则CE＝(，－2,0)，EP＝(0，－1，h)，设平面PEC的法向量为n1＝(x，y，z)，则∴令y＝h，则n1＝(2h，h，)，又平面DEC的法向量n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得h＝，∴在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时h＝.4．如图，已知在长方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1＝BB1＝1，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点．把长方形ABCD沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B⊥平面A1...
