第十一章计数原理、随机变量及分布列第6课时离散型随机变量的均值与方差(理科专用)1.已知随机变量X的分布列如下表，那么a＝________，E(X)＝________．X123P0.10.6a答案：0.32.2解析：由0.1＋0.6＋a＝1，得a＝0.3，E(X)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后尚余子弹的数目X的期望值为________．答案：2.376解析：X的取值有3、2、1、0，其概率分布为X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.3.一个盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的期望E(ξ)＝________．答案：解析：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．ξ－202Pm答案：2解析：根据离散型随机变量ξ的分布列知m＝.∴E(ξ)＝－2×＋0×＋2×＝0，V(ξ)＝(－2－0)2×＋(0－0)2×＋(2－0)2×＝2.5.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望是________．答案：解析：抛掷两个骰子至少有一个4点或5点的概率为P＝1－＝(或用列举法求概率)，根据题意得X～B，∴E(X)＝10×＝.6.(改编)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，则E(ξ)＝________．答案：解析：随机变量ξ可能取的值为1、2.事件“ξ＝i(i＝1，2)”是指有i个同学到A社区，则P(ξ＝2)＝＝，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝.则ξ的分布列为ξ12PE(ξ)＝1×＋2×＝.7.如果随机变量ξ服从B(n，p)，且E(ξ)＝4，且V(ξ)＝2，则p＝________．答案：解析： ξ服从B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4. V(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝.8.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数Y的数学期望E(Y)＝________．答案：解析：当Y＝0时，P(Y＝0)＝＝；当Y＝1时，P(Y＝1)＝＝；当Y＝2时，P(Y＝2)＝＝，∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.9.甲、乙两人射击气球的命中率分别为0.7与0.4，如果每人射击2次．(1)求甲至少击中1个气球的概率；(2)求甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率；(3)求甲、乙两人击中气球个数相等的概率．解：(1)甲至少击中1个气球的概率P1＝1－(1－0.7)2＝0.91.(2)设甲击中1个气球且乙击中2个气球为事件A，事件A1为甲在2次射击中恰好击中1个气球，事件A2为乙在2次射击中恰好击中2个气球．则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)·P(A2)＝(C·0.31×0.71)·(C·0.42)＝0.0672.(3)甲、乙两人击中气球个数相等为事件B，事件B1为甲、乙两人都击中2个气球，事件B2为甲、乙两人恰好都击中1个气球，事件B3为甲、乙两人都未击中气球．则P(B)＝P(B1＋B2＋B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝(C·0.72·C·0.42)＋(C·0.7×0.3)(C·0.4×0.6)＋(C·0.32·C·0.62)＝0.3124.答：甲至少击中1个气球的概率是0.91；甲击中1个气球且乙击中2个气球的概率是0.0672，甲、乙两人击中气球个数相等的概率是0.3124.10.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和.(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：(1)(解法1)设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B，故E(X)＝2×＝，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×＝3.6.设选手甲在B区投篮的进球数为Y，则Y～B，故E(Y)＝3×＝1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1＝3. 3.6＞3，∴选手甲应该选择A区投篮．(解法2)设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、2、4，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝2)＝C··＝；P(ξ＝4)＝＝.∴ξ的分布列为ξ024P∴E(ξ)＝3.6.同理，设选手甲在B区投篮的得分为η，则η的可能取值为0，3，6，9，P(η＝0...
