第一讲坐标系与参数方程1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．解析：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.2．(2019·拉萨校级月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－，－2)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝ρcos2θ＋acosθ(a>0)，过点A作直线α＝(ρ∈R)的平行线l，分别交曲线E于B，C两点．(1)写出曲线E和直线l的直角坐标方程；(2)若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．解析：(1) 曲线E的极坐标方程为ρ＝ρcos2θ＋acosθ(a>0)，∴ρ2＝ρ2cos2θ＋aρcosθ.∴曲线E的直角坐标方程为y2＝ax(a>0)．又直线l的斜率为1，且过点A(－，－2)，故直线l的直角坐标方程为y＝x－.(2)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝ax，得t2－(2a＋8)t＋16＋4a＝0，∴t1＋t2＝2a＋8，t1t2＝4a＋16. |BC|2＝|AB|·|AC|，∴(t1－t2)2＝t1t2，即(t1＋t2)2＝5t1t2，∴4(a＋4)2＝5(4a＋16)，∴a2＋3a－4＝0，由a>0，得a＝1.3．(2019·博望区校级模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l1与圆C的两个交点的坐标；(2)已知动点P在圆C上，动点Q在直线l2：x－y－a＝0上，若线段PQ的最小值为3，求实数a的值．解析：(1)由消去参数t得2x－y＋4＝0；由消去θ得x2＋(y－2)2＝4；联立，解得或，所以直线l与圆C的两个交点为(0,4)，.(2)依题意得－2＝3，解得a＝－2±5.4．(2019·辽阳一模)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)，C2：(m为参数)．(1)将C1，C2的方程化为普通方程；(2)设曲线C1与C2的交点分别为A，B，O为坐标原点，求△OAB的面积的最小值．解析：(1)由C1：(t为参数)，消去t得C1：ycosθ＝(x－2)sinθ，由C2：(m为参数)消去m得C2：y2＝4x.(2)如图，联立，消去x得y2sinθ－4ycosθ－8sinθ＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－8，又C1与x轴的交点F(1,0)，∴S△OAB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF||y1|＋|OF||y2|＝|OF|(|y1|＋|y2|)＝×1×|y1－y2|＝＝＝2，所以sinθ＝1时S△OAB取得最小值2.5．(2019·柳州一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin＋1＝0.(1)求曲线C2的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；(2)设点P为曲线C3：＋x2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解析：(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，可得曲线C2的参数方程为(α为参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，可得x2＋y2－x－＝0，极坐标方程为ρ2－ρcosθ－＝0，直线l的极坐标方程为4ρsin＋1＝0，即4ρ＋1＝0，即2x＋2y＋1＝0.(2)设P(cosα，sinα)，则点P到直线l的距离d＝＝≤，∴点P到直线l的距离的最大值为.6．(2019·萍乡一模)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)设动直线l：y＝kx(x≠0，k≠0)分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值．解析：(1) 曲线C1的参数方程为(α为参数)，∴曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ. 曲线C2的极坐标方程为ρ＝2s...
