高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式达标训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

3.3排序不等式更上一层楼基础·巩固1.如下图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和.思路分析：这可沿图中线段MN向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a1b1+a2b2,而空白面积=a1b2+a2b1.根据顺序和≥反序和可知答案.答案：≥2.设a、b、c为某一三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x2在R+单调递增，f(x)=x1在R+单调递减.证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).由排序原理得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤a·b(c+a-b)+b·c(a+b-c)+c·a(b+c-a)=3abc.3.对a,b,c∈R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小.思路分析:将式子理解为积的形式a2·a+b2·b+c2·c,a2b+b2c+c2a,再依大小关系可求解.解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2.不论a,b,c的大小顺序如何，a3+b3+c3都是顺序和，a2b+b2c+c2a都是乱序和；故由排序原理可得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.4.求证:正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1′,a2′,…，an′，则有nnaaaaaa2211≥n.思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n理解为n个1相加,而把1理解为x·x1的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视.证明：取两组数a1,a2,…,an；11a,21a,…,na1.其反序和为nnaaaaaa2211=n，原不等式的左边为乱序和，有nnaaaaaa2211≥n.5.已知a,b,c∈R+，求证：abccabbca121212≥a10+b10+c10.思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.证明：不妨设a≥b≥c>0,则abcabc111>0且a12≥b12≥c12>0,1则abcbcbabaabccabbca121212121212ccbbaaaccbba111111111111=a10+b10+c10.6.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：nnaaaaaann1322113221.思路分析：在证明不等式时，要掌握对数字的一个变形，合理构造，才会使题迎刃而解.证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b10.（1）由不等式的单调性知a2≥b2，b1≥a1，于是abba22.由排序原理：bababaaabbba11112222，即(ba)2+(ab)2≥ba+ab.（2）由不等式的单调性知baaccb111且a≥b≥c>0，由排序原理：baaacccbbbacacbcba，babacacbcbccacbcba，两式相加得所证不等式成立.2（3）由不等式的单调性知bc11≥a1，因而333333111baacab.根据不等式的单调性知a5≥b5≥c5，由排序不等式得323232335335335335335335bcabcacbcbabacabacacbcba.又由不等式的单调性知a2≥b2≥c2，333111abc，根据排序原理：cbaccbbaabcabca111323232323232.由不等式的传递性可知a1+33388833533533511cbacbabacacbcbacb.综合·应用8.设a，b，c都是正数，求证：（1）cabbcaabc≥a+b+c；（2）a+b+c≤abccba444；（3）an(a2-bc)+bn(b2-ac)+cn(c2-ab)≥0（n是任意正数）.思路分析：证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法,后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时...