第2讲平面向量、复数平面向量的概念及线性运算1.(2015资阳市一诊)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(B)(A)A,B,C三点共线(B)A,B,D三点共线(C)A,C,D三点共线(D)B,C,D三点共线解析:=+=2a+6b=2(a+3b),则=2,即A,B,D三点共线,故选B.2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则|b|等于(C)(A)(B)(C)2(D)2解析:因为a∥b,所以1×m=2×(-2),解得m=-4,所以b=(-2,-4),|b|==2.故选C.3.(2014福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于(D)(A)(B)2(C)3(D)4解析:依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以+=2,+=2,所以+++=4.故选D.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.解析:因为O为AC的中点,所以+==2,即λ=2.答案:2平面向量的数量积5.(2014山东卷)已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m等于(B)(A)2(B)(C)0(D)-解析:根据平面向量的夹角公式可得=,即3+m=×,两边平方并化简得6m=18,解得m=,经检验符合题意.故选B.6.(2015重庆卷)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,故选C.7.(2015辽宁锦州市质检)已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则·取最小值时P点坐标是(D)(A)(-3,0)(B)(1,0)(C)(2,0)(D)(3,0)解析:设P(x,0),则=-=(x-2,-2),=-=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以x=3时,·取得最小值,此时P(3,0).故选D.8.(2015厦门质检)如图,正六边形ABCDEF中,AB=2,则(-)·(+)等于(D)(A)-6(B)-2(C)2(D)6解析:由-=,+=+=,则(-)·(+)=·=||||cos=2×2×=6.故选D.9.(2015福建卷)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(A)(A)13(B)15(C)19(D)21解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),·=(-1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t+)≤17-2×2=13(当且仅当t=时,取“=”),故·的最大值为13,故选A.10.(2015湖北七市(州)3月联考)已知向量=(2,m),=(1,),且向量在向量方向上的投影为1,则||=.解析:||·cos<,>===1,解得m=0.则||==2.答案:211.在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若∠ABO=90°,则实数t的值为.解析:若∠ABO=90°,即⊥,由=-=(-3,t-2),=(-2,-2),所以·=(-3,t-2)·(-2,-2)=6-2t+4=0,t=5.答案:5复数的概念与运算12.(2015山西太原市模拟)已知i为虚数单位,集合A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数z等于(A)(A)-4i(B)4i(C)-2i(D)2i解析:由题意zi=4,所以z==-4i.故选A.13.(2015贵州七校联盟第一次联考)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(A)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由已知z===[(m-4)-2(m+1)i].在复平面上对应的点如果在第一象限,则而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.故选A.14.(2015江苏卷)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由复数相等的定义得解得或从而|z|==.答案:15.(2015天津卷)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.解析:因为(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,所以解得a=-2.答案:-2一、选择题1.(2014广东卷)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z等于(D)(A)-3+4i(B)-3-4i(C)3+4i(D)3-4i解析:根据复数的运算法则,z===3-4i.故选D.2.(2015河南郑州市质检)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为(C)(A)1+2i(B)1-2i(C)-2+i(D)2+i解析:复数z===2+i,得点A对应的复数为-2+i,故选C.3.(2015安徽蚌埠市质检)若复数(2+ai)(1-i)(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为(A)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:(2+ai)(1-i)=(2+a)+(-2+a)i,由复数(2+ai)(1-i)(a∈R)是纯虚数,得2+a=0,则a=-2,故选A.4.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z等于(A)(A)1+i(B)1-i(C)-1+i(D)-1-i解析:设z=a+bi(a,b∈R),则|z|2=a2+b2,由z·i+2=2z,得|z|2·i+2=2(a+bi),即解得所以z=1+i.5.若向量=(2,3),=(4,7),则等于(A)(A)(-2,-4)(B)(2,4)(C)(6,10)(D)(-6,-10)解析:=+=-=(2,3)...
