课时提升作业(七)全称量词存在量词(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2015·太原高二检测)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0B.存在实数x0,使sinx0=C.对一切α,sin(180°-α)=sinαD.对一切α,β,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.【补偿训练】判断下列命题的真假.(1)每一个奇数都是素数.(2)对任意实数a,b,不等式|a|-|b|≤|a-b|成立.(3)存在两条相交直线垂直于同一个平面.(4)存在α0∈R,使得sin3α0=3sinα0.【解析】(1)如9是奇数,但9的约数有1,3,9三个,故9不是素数,所以全称命题“每一个奇数都是素数”是假命题.(2)对任意实数a,b都满足绝对值不等式的性质,故全称命题“对任意实数a,b,不等式|a|-|b|≤|a-b|成立”是真命题.(3)由于垂直于同一个平面的两条直线互相平行,因此不存在两条相交直线垂直于同一个平面,所以特称命题“存在两条相交直线垂直于同一个平面”是假命题.(4)当α0=0时,sin3α0=3sinα0成立,所以特称命题“存在α0∈R,使得sin3α0=3sinα0”是真命题.2.已知命题p:x∃0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q:x∈∀,cosx<1,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.p∧(q)【解析】选C.当x0<0时,2x0>3x0,1所以不存在x0∈(-∞,0),使得2x0<3x0成立,即p为假命题,显然∀x∈,恒有cosx<1,所以命题q为真,所以(p)∧q是真命题.3.(2015·南昌高二检测)已知命题p:x∃0∈R,+ax0+a<0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是()A.[0,4]B.(0,4)C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】选A.因为命题p:∃x0∈R,+ax0+a<0,命题p是假命题,则p是真命题,即方程x2+ax+a≥0恒成立,所以Δ=a2-4a≤0,解得0≤a≤4.二、填空题(每小题4分,共8分)4.下列语句是真命题的是(填序号).①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.所以①正确,②③错误.答案:①5.(2015·无锡高二检测)若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是.【解析】依题意有:0
0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x1满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.x∃0∈R,f(x0)≤f(x1)B.x∃0∈R,f(x0)≥f(x1)C.x∈R,f(x)≤f(x∀1)D.x∈R,f(x)≥f(x∀1)【解析】选C.f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0),因为2ax1+b=0,所以x1=-.当x=x1时,函数f(x)取得最小值,所以∀x∈R,f(x)≥f(x1).从而A,B,D为真命题,C为假命题.2.下列四个命题中,真命题是()A.x∈R,x+∀≥2B.x∃0∈R,x0+≥2C.x∃0∈R,|x0+1|<0D.x∈R,|x+1|>0∀【解析】选B.当x=-1时,x+=-2,显然x+≥2不成立,故A错.当x=2时,x+=2>2,故B正确,对∀x∈R,|x+1|≥0,故C错误,当x=-1时,|x+1|>0不成立,故D错.【补偿训练】下列命题中真命题为()A.若sinA=sinB,则∠A=∠BB.x∈R,∀都有x2+1>0C.若lgx2=0,则x=1D.x∃0∈Z,使1<4x0<3【解析】选B.若sinA=sinB,不一定有∠A=∠B,A不正确,B正确;若lgx2=0,则x2=1,x=±1,C不正确,D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)33.(2015·山东高考)若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解题指南】本题考查正切函数的性质(单调性和闭区间上的最值).【解析】由0≤x≤,可得0≤tanx≤1.由tanx≤m恒成立可知m≥1,即最小值是...
