四渐开线与摆线一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是()A.πB.2πC.3πD.4π解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.答案B2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为()A.－1B.C.D.解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，∴|AB|＝＝.答案C3.摆线(t为参数，0≤t＜2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是()A.(π－2，2)，(3π＋2，2)B.(π－3，2)，(3π＋3，2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)解析由2＝2(1－cost)得cost＝0.∵t∈[0，2π)，∴t1＝，t2＝.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).答案A4.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.答案25.已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________.解析由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数).当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2).答案(π，2)16.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(φ为参数).7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离.解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A、B两点的坐标分别为A，B.那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝＝.即A、B两点之间的距离为.二、能力提升8.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π解析根据渐开线的定义可知，AE是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得EF是半径为2的圆周长，长度为π；FG是半径为3的圆周长，长度为；GH是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案C9.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，平摆线具有周期性，周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2kπ，4)(k∈Z).10.渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得2到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标.解由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0).11.如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程.解设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，则当|AQ|＝时，有代入∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数).当AQ＝时，有代入∴点Q的轨迹方程为(θ为参数).三、探究与创新12.已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t＞0)，它表示半径为t的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程.解(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tanα(x－2)，即y＝xtanα－2tanα＋2，如果把α看成参数且t＞0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).3
