3.1数系的扩充知识梳理1.我们把形如____________(a、b∈R)的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集,记作____________.2.复数通常用字母____________表示,即____________.其中____________分别叫做复数z的实部与虚部.当且仅当____________时,z是实数a;当____________时,z叫虚数.特别地,当____________时,z=bi叫做纯虚数.3.如果两个复数的____________和____________分别相等,那么我们就说这两个复数相等.知识导学要学好本节内容,关键处理好两点:1.数学中化归思想是解复数问题的基本思想,令z=x+yi(x、y∈R)使复数问题实数化.2.处理复数问题,还应该注意从整体角度去分析求解,若遇到复数就设z=x+yi(x、y∈R),给许多问题的求解带来不必要的运算困难,而若把握复数的整体性质,运用整体的思想方法,则能起到事半功倍的作用.疑难突破本节的难点是将复数问题实数化,两个复数能否比较大小,复数的几何意义是什么.剖析:两个复数相等,是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或不相等,而不能比较它们的大小,只有当两个复数都是实数时,才能比较它们的大小.在复平面内复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.典题精讲【例1】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数x、y的值.思路分析:根据复数相等的定义,注意x、y为实数.解:∵x、y为实数,∴2x-1,y+1,x-y,-x-y均为实数,由复数相等的定义知绿色通道:两个复数相等时,应分清两复数的实部与虚部,然后实部与实部相等,虚部与虚部相等.变式训练:复数z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i且z1=z2,求实数m、n的值.解:根据复数相等的定义知【例2】已知a-1+2ai=-4+4i,求复数a.思路分析:确定一个复数需确定实部和虚部,根据复数相等的定义求出.解:设a=x+yi(x、y∈R),x+yi-1+2(x+yi)i=-4+4i,即(x-2y-1)+(2x+y)i=-4+4i.由复数相等的条件∴a=1+2i.绿色通道:掌握复数相等的条件及如何确定一个复数的方法.变式训练:已知复数(2k2-3k-2)+(k2-k)i,实部小于零,虚部大于0,求实数k的取值范围.解:由题意得解得<k<0或1<k<2.【例3】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k.思路分析:认真审题,把握“z<0”说明z为实数且小于0,掌握实数的概念.解:∵z<0,∴z∈R.∴k2-5k+6=0.∴k=2或k=3.1但当k=3时,z=0不符合题意;k=2时,z=-2<0符合.∴k=2.绿色通道:两个虚数只能说相等或不相等,不能比较大小,也不能说大于0,小于0,但两个实数可以比较大小.变式训练:若log2(m2-3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数,求实数m的值.解:根据纯虚数的定义,得∴m=4.问题探究问题:当z1、z2∈C时,判断是什么数.导思:此问题主要考查共轭复数及判断一个数是实数或虚数的方法.探究:设z1=x+yi,z2=a+bi,且x、y、a、b∈R,则=(x+yi)(a-bi)+(x-yi)(a+bi)=2(ax+by)+(ay-bx+bx-ay)i=2(ax+by)∈R.2