3.1数系的扩充知识梳理1.我们把形如____________(a、b∈R)的数叫做复数.全体复数所组成的集合叫做复数集，记作____________.2.复数通常用字母____________表示，即____________.其中____________分别叫做复数z的实部与虚部.当且仅当____________时，z是实数a；当____________时，z叫虚数.特别地，当____________时，z=bi叫做纯虚数.3.如果两个复数的____________和____________分别相等，那么我们就说这两个复数相等.知识导学要学好本节内容，关键处理好两点：1.数学中化归思想是解复数问题的基本思想，令z=x+yi(x、y∈R)使复数问题实数化.2.处理复数问题，还应该注意从整体角度去分析求解，若遇到复数就设z=x+yi(x、y∈R)，给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质，运用整体的思想方法，则能起到事半功倍的作用.疑难突破本节的难点是将复数问题实数化，两个复数能否比较大小，复数的几何意义是什么.剖析：两个复数相等，是指这两个复数的实部和虚部分别相等.一般地,两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较它们的大小，只有当两个复数都是实数时，才能比较它们的大小.在复平面内复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一个几何意义.典题精讲【例1】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i，求实数x、y的值.思路分析：根据复数相等的定义，注意x、y为实数.解：∵x、y为实数，∴2x-1，y+1，x-y，-x-y均为实数，由复数相等的定义知绿色通道：两个复数相等时,应分清两复数的实部与虚部,然后实部与实部相等,虚部与虚部相等.变式训练:复数z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i且z1=z2,求实数m、n的值.解：根据复数相等的定义知【例2】已知a-1+2ai=-4+4i，求复数a.思路分析：确定一个复数需确定实部和虚部，根据复数相等的定义求出.解：设a=x+yi(x、y∈R)，x+yi-1+2(x+yi)i=-4+4i，即(x-2y-1)+(2x+y)i=-4+4i.由复数相等的条件∴a=1+2i.绿色通道：掌握复数相等的条件及如何确定一个复数的方法.变式训练:已知复数(2k2-3k-2)+(k2-k)i,实部小于零，虚部大于0,求实数k的取值范围.解：由题意得解得＜k＜0或1＜k＜2.【例3】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z＜0,求k.思路分析：认真审题,把握“z＜0”说明z为实数且小于0，掌握实数的概念.解：∵z＜0,∴z∈R.∴k2-5k+6=0.∴k=2或k=3.1但当k=3时，z=0不符合题意；k=2时，z=-2＜0符合.∴k=2.绿色通道：两个虚数只能说相等或不相等，不能比较大小，也不能说大于0，小于0，但两个实数可以比较大小.变式训练:若log2(m2-3m-3)+ilog2(m+2)为纯虚数，求实数m的值.解：根据纯虚数的定义，得∴m=4.问题探究问题：当z1、z2∈C时，判断是什么数.导思：此问题主要考查共轭复数及判断一个数是实数或虚数的方法.探究：设z1=x+yi,z2=a+bi,且x、y、a、b∈R,则=(x+yi)(a-bi)+(x-yi)(a+bi)=2(ax+by)+(ay-bx+bx-ay)i=2(ax+by)∈R.2
