【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性习题理新人教A版一、填空题1.(2016·南京、盐城调研)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________.解析函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.∴f(x)单调递增区间是(2，＋∞).答案(2，＋∞)2.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________.解析依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立， x＞1，∴0＜＜1，∴k≥1.答案[1，＋∞)3.已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是增函数，则b的取值范围是________.解析y′＝x2＋2bx＋b＋2，由题意知Δ＝4b2－4(b＋2)>0，解得b>2或b<－1.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)4.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c从小到大的顺序为________.解析依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此f(－1)
0，b<0，c>0，d>0；②a>0，b<0，c<0，d>0；③a<0，b<0，c>0，d>0；④a>0，b>0，c>0，d<0.则以上命题正确的是________(填序号).解析 函数f(x)的图象在y轴上的截距为正值，∴d＞0. f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在(－∞，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＜0的解集为(x1，x2)，∴a＞0，又x1，x2均为正数，∴＞0，－＞0，可得c＞0，b＜0.答案①8.若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________.解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，解得a＞－.所以a的取值范围是.答案二、解答题9.设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6).(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或3.当03时，f′(x)>0，故f(x)的递增区间是(0，2)，(3，＋∞)；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)的递减区间是(2，3).10.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)满足f(x)＝x3＋f′x2－x＋c(其中f′为f(x)在点x＝处的导数，c为常数).2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝[f(x)－x3]ex，若函数g(x)在[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，得f′＝－1，∴f(x)＝x3－x2－x＋c，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，由f′(x)＞0，得x＜－或x＞1；由f′(x)＜0，得－＜x＜1，故f(x)的单调增区间是和(1，＋∞)；单调减区间是.(2) g(x)＝(－x2－x＋c)·ex，∴g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex.当函数g(x)在区间[－3，2]上单调递增时，等价于h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在[－3，2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11.故c的取值范围是[11，＋∞).能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是________.解析 f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0
