双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·福建高考)若双曲线E：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为=2a，所以-=±6，所以=9或-3(舍去).【补偿训练】设点P是双曲线-=1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.【解析】由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.故|PF2|=4或|PF2|=16.答案：4或162.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A.-=1(x≥2)B.-=1(x≤2)C.-=1D.-=1【解析】选C.由已知N(4，0)，内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PN|=|PM|-4，外切时，有|PN|=|PM|+4，故||PM|-|PN||=4，因此2a=4，2c=8，所以b2=12，点P的轨迹是双曲线-=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选A或B.3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为()A.1B.-1C.D.-1【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-y2=1，即-=1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在y轴上，所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.【误区警示】本题有两处易错：一是a2，b2确定错误，应该是a2=-，b2=-；二是a，b，c的关系式用错.在双曲线中应为c2=a2+b2.4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为()A.19B.26C.43D.50【解析】选B.如图,由双曲线的定义可得将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,所以△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.5.(2015·开封高二检测)双曲线-=1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(-5，0)的距离为()A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】选D.由题知a2=16，b2=9，所以c2=25.又焦点在x轴上，所以焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，||PF1|-|PF2||=2a=8，||PF1|-15|=8，所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8，所以|PF1|=23或|PF1|=7.【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点①若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；②若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|-|PF2||=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c-a).二、填空题(每小题5分，共15分)26.已知△ABC的顶点B(-2，0)，C(2，0)，并且sinC-sinB=sinA，则顶点A的轨迹方程是________.【解析】设△ABC外接圆半径为R，则由：sinC-sinB=sinA，得：-=·，即|AB|-|AC|=2.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.因为2a=2，c=2，所以a2=1，b2=c2-a2=3.故点A的轨迹方程为x2-=1(x>1).答案：x2-=1(x>1)7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=________.【解析】设F2为椭圆右焦点，则|OM|=|PF2|，|PF|-|PF2|=6.因为FT是☉O的切线，所以|FT|=4，所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4，所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4=4-(|PF|-|PF2|)=1.答案：13【补偿训练】若双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________.【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=±2，①|MF1|+|MF2|=2，②②2-①2得，4|MF1|·|MF2|=4a-4m，所以|MF1|·|MF2|=a-m.答案：a-m8.已知双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-4)，，则双曲线的标准方程为________.【解析】若曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：-=1(a>0，b>0)依题意得令m=，n=，则方程组化为：解这个方程组得即a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为-=1.若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，依题意得此时无解.综上可得，所求双曲线的标准方程为-=1.答案：-=1【一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0)，4依题意得解得故所求双曲线方程为-+=1即-=1.答案：-=1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·洛阳...
