高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.1.3空间向量的数量积运算基础练习1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.2．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则AH·AF的值为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】C【解析】∵正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，∴AH＝AE＝(AB＋AC)，AF＝AD.又AB·AD＝AC·AD＝a2cos60°＝a2，∴AH·AF＝(AB·AD＋AC·AD)＝a2.故选C．3．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则EF·BA的值为()A．4B．－4C．－2D．2【答案】C【解析】∵EF＝EA＋AB＋BF＝DA＋AB＋BC，∴EF·BA＝·BA＝DA·BA＋AB·BA＋BC·BA＝×22×cos60°－22＋×22×cos60°＝－2.故选C．4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6B．6C．12D．144【答案】C1【解析】∵PC＝PA＋AB＋BC，∴PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴|PC|＝12.5．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是________．【答案】②④【解析】根据向量数量积的定义及性质可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故①错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故③错误．易知②④正确．6．空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值是________．【答案】－【解析】OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos－|OA||OB|cos.∴cos〈OA，BC〉＝＝＝＝－.7．如图，已知四面体ABCD的每条棱的长都等于1，点E，F分别是边AB，AD的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC.解：(1)EF·BA＝BD·BA＝|BD|·|BA|·cos〈BD，BA〉＝cos＝.(2)EF·BD＝BD·BD＝cos0＝.(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|·cos〈BD，DC〉＝cos＝－.8．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝AA1，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，求异面直线CE与AC1所成角的余弦值．解：设CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0，AC1＝－a＋c，CE＝b＋c.∴|AC1|＝|a|，|CE|＝|a|，AC1·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2.∴cos〈AC1，CE〉＝＝.∴CE与AC1所成角的余弦值为.2能力提升9．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设a与b所成的角为θ.AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋CD2＋DB·CD＝0＋1＋0＝1，∴cosθ＝＝.又θ∈，∴θ＝.故选C．10．已知空间向量a，b的模长相等，|a＋2b|＝，|2a－b|＝，则cos〈a，b〉的值为()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由已知得|a|＝|b|，|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝5|a|2＋4a·b＝2，|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝5|a|2－4a·b＝3，解得|a|2＝，a·b＝－.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.11．正四面体ABCD中，点E，F分别在棱AB，CD上且AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．【答案】【解析】DE＝DA＋AB，BF＝BC＋CD，设正四面体ABCD的棱长为1，则DE2＝2＝1＋＋2×1×cos120°＝，∴|DE|＝.同理，|BF|＝.又DE·BF＝·＝－，∴cos〈DE，BF〉＝＝－.∴直线DE和BF所成角的余弦值为.12．如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成角的余弦值．解：(1)|AC1|2＝(AA1＋AB＋AD)2＝AA12＋AB2＋AD2＋2AA1·AB＋2AA1·AD＋2AB·AD，由已知得AA12＝b2，AB2＝AD2＝a2，〈AA1，AB〉＝〈AA1，AD〉＝120°，〈AB，AD〉＝90°，∴AA1·AB＝bacos120°＝－ab，同理AA1·AD＝－ab，AB·AD＝0.∴|AC1|2＝2a2＋b2－2ab.∴AC1的长为.(2)由题意得|AC|＝a，AC＝AB＋AD，BD1＝AA1＋AD－AB，∴AC·BD1＝(AB＋AD)·(AA1＋AD－AB)＝－ab，|BD1|＝.∴cos〈AC，BD1〉＝＝.∴直线BD1与AC所成角的余弦值为.34