3.1.3空间向量的数量积运算基础练习1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b等于()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.2.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,H分别是BC,AD,AE的中点,则AH·AF的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2【答案】C【解析】∵正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,H分别是BC,AD,AE的中点,∴AH=AE=(AB+AC),AF=AD.又AB·AD=AC·AD=a2cos60°=a2,∴AH·AF=(AB·AD+AC·AD)=a2.故选C.3.如图,正四面体ABCD的棱长为2,点E,F分别为棱AD,BC的中点,则EF·BA的值为()A.4B.-4C.-2D.2【答案】C【解析】∵EF=EA+AB+BF=DA+AB+BC,∴EF·BA=·BA=DA·BA+AB·BA+BC·BA=×22×cos60°-22+×22×cos60°=-2.故选C.4.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6B.6C.12D.144【答案】C1【解析】∵PC=PA+AB+BC,∴PC2=PA2+AB2+BC2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.∴|PC|=12.5.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,给出下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b一定不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是________.【答案】②④【解析】根据向量数量积的定义及性质可知a·b和c·a是实数,而c与b不共线,故(a·b)c与(c·a)b不一定相等,故①错误;因为[(b·a)c-(c·a)b]·c=(b·a)c2-(c·a)(b·c),所以当a⊥b,且a⊥c或b⊥c时,[(b·a)c-(c·a)b]·c=0,即(b·a)c-(c·a)b与c垂直,故③错误.易知②④正确.6.空间四边形OABC中,OB=6,OC=4,BC=4,∠AOB=∠AOC=,则cos〈OA,BC〉的值是________.【答案】-【解析】OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA||OC|cos-|OA||OB|cos.∴cos〈OA,BC〉====-.7.如图,已知四面体ABCD的每条棱的长都等于1,点E,F分别是边AB,AD的中点,计算:(1)EF·BA;(2)EF·BD;(3)EF·DC.解:(1)EF·BA=BD·BA=|BD|·|BA|·cos〈BD,BA〉=cos=.(2)EF·BD=BD·BD=cos0=.(3)EF·DC=BD·DC=|BD|·|DC|·cos〈BD,DC〉=cos=-.8.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=AA1,∠ACB=90°,E为BB1的中点,求异面直线CE与AC1所成角的余弦值.解:设CA=a,CB=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=c·a=0,AC1=-a+c,CE=b+c.∴|AC1|=|a|,|CE|=|a|,AC1·CE=(-a+c)·=c2=|a|2.∴cos〈AC1,CE〉==.∴CE与AC1所成角的余弦值为.2能力提升9.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设a与b所成的角为θ.AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+CD2+DB·CD=0+1+0=1,∴cosθ==.又θ∈,∴θ=.故选C.10.已知空间向量a,b的模长相等,|a+2b|=,|2a-b|=,则cos〈a,b〉的值为()A.B.-C.D.-【答案】D【解析】由已知得|a|=|b|,|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=5|a|2+4a·b=2,|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=5|a|2-4a·b=3,解得|a|2=,a·b=-.∴cos〈a,b〉===-.11.正四面体ABCD中,点E,F分别在棱AB,CD上且AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为________.【答案】【解析】DE=DA+AB,BF=BC+CD,设正四面体ABCD的棱长为1,则DE2=2=1++2×1×cos120°=,∴|DE|=.同理,|BF|=.又DE·BF=·=-,∴cos〈DE,BF〉==-.∴直线DE和BF所成角的余弦值为.12.如图,已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面是边长为a的正方形,侧棱AA1的长为b,∠A1AB=∠A1AD=120°,求:(1)AC1的长;(2)直线BD1与AC所成角的余弦值.解:(1)|AC1|2=(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AA1·AD+2AB·AD,由已知得AA12=b2,AB2=AD2=a2,〈AA1,AB〉=〈AA1,AD〉=120°,〈AB,AD〉=90°,∴AA1·AB=bacos120°=-ab,同理AA1·AD=-ab,AB·AD=0.∴|AC1|2=2a2+b2-2ab.∴AC1的长为.(2)由题意得|AC|=a,AC=AB+AD,BD1=AA1+AD-AB,∴AC·BD1=(AB+AD)·(AA1+AD-AB)=-ab,|BD1|=.∴cos〈AC,BD1〉==.∴直线BD1与AC所成角的余弦值为.34