2016-2017学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式2一般形式的柯西不等式课后练习新人教A版选修4-5一、选择题1．已知a＋b＋c＝1，且a，b，c∈R＋，则＋＋的最小值为()A．1B．3C．6D．9解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥(1＋1＋1)2＝9.答案：D2．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为()A．1B．6C．11D.解析：∵(2x2＋y2＋3z2)≥(x·＋y·1＋z·)2＝(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥＝.即F≥.答案：D3．已知a，b，c，d，e是满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16的实数，则e的最大值为()A．3B．4C．5D.解析：∵(a＋b＋c＋d)2≤4(a2＋b2＋c2＋d2)，∴(8－e)2≤4(16－e2)，∴0≤e≤.答案：D4．求函数y＝5＋的最大值()A．6B．3C．6D．6解析：函数的定义域为(1,5)，且y>0，y＝5×＋×≤×＝＝6.当且仅当×＝5×时，等号成立，即x＝时，函数取最大值6.答案：A二、填空题5．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________时，(x，y，z)＝1________.解析：∵(x－2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x－2y＋2z最小值为－6，此时＝＝.又∵x2＋y2＋z2＝4，∴x＝－，y＝，z＝－.答案：－66．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x2＋4y2＋z2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.答案：三、解答题7．设a，b，c，d为正数，a＋b＋c＋d＝1，求a2＋b2＋c2＋d2的最小值．解析：∵a，b，c，d为正数，∴由柯西不等式得(a2＋b2＋c2＋d2)(12＋12＋12＋12)≥(a＋b＋c＋d)2.∵a＋b＋c＋d＝1，∴4(a2＋b2＋c2＋d2)≥1，即a2＋b2＋c2＋d2≥.∴a2＋b2＋c2＋d2的最小值为.8．已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥.证明：∵＋＋＋3＝＋＋＝(a＋b＋c)＝[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]≥(1＋1＋1)2＝，∴＋＋≥－3＝.9．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．解析：由柯西不等式得(2b2＋3c2＋6d2)(＋＋)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，2b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.3
