2.6距离的计算[基础达标]已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2解析:选D.法一:取以AB、BC、CD为棱的正方体,易得|AD|2=|AB|2+|BC|2+|CD|2,∴|AD|=2.法二:取基底{AB,BC,CD},则AD=AB+BC+CD,∴AD2=(AB+BC+CD)2=AB2+BC2+CD2+2AB·BC+2BC·CD+2AB·CD=12.∴|AD|=2.已知直线l过定点A(2,3,1),且方向向量为n=(0,1,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()A.B.C.D.解析:选A.PA=(-2,0,-1),|PA|=,=,则点P到直线l的距离d===.如图,已知平面α、平面β的夹角为120°,AC在α内,BD在β内,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长是()A.aB.2aC.3aD.4a解析:选B.因为CD=CA+AB+BD,所以|CD|2=(CA+AB+BD)·(CA+AB+BD)=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2(CA·AB+CA·BD+AB·BD)=a2+a2+a2+2a2cos60°=4a2,所以|CD|=2a,CD=2a.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A.1B.C.D.解析:选B.建立如图所示的空间直角坐标系,易求得平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),故所求距离为C1到平面ACD1的距离,∴d==.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a解析:选D.明显A1C⊥平面AB1D1,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),A(a,0,0),B(a,a,0),BA=(0,-a,0),则两平面间的距离为d=|BA·|==a.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=160°,则AC1的长为________.解析:取基底{AB,AD,AA1},则AC1=AB+AD+AA1,∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AD·AA1+2AB·AA1=12+22+32+2×2×3cos60°+2×1×3cos60°=23.故|AC1|=.答案:三棱锥SABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥AC,且AS=AB=AC=2,D是SA的中点,则点D到BC的距离为________.解析:如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),∴BD=(-2,0,1),BC=(-2,2,0),∴BD在BC上的投影长为==,故D到BC的距离为=.答案:已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则点C1到平面AB1D的距离为________.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,a,0),B1(a,,a),D(0,a,),C1(0,a,a),设平面AB1D的法向量为n=(x,y,z),则,即. ,取z=-2,则y=1,x=,∴n=(,1,-2),C1D=(0,0,-),则点C1到平面AB1D的距离为=a.答案:a在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDA′B′C′D′,且AB=AD=1,BB′=2,M,N分别是A′D′,D′C′的中点,求直线AC与直线MN的距离.解:依据长方体的性质可知AC∥MN,故两直线间的距离为点M到直线AC的距离.由题意得AC=(-1,1,0),AM=(0,,-2).所以点M到直线AC的距离d===.如图,在四棱锥SABCD中,AD∥BC且AD⊥CD,平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2,E为BS的中点,CE=,AS=.求点A到平面BCS的距离.解:如图,以S(O)为坐标原点,OD、OC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系.设A(xA,yA,zA),因平面COD⊥平面ABCD,AD⊥CD,故AD⊥平面COD,即点A在xOz平面上,因此yA=0,zA=|AD|=1.又x+12=|AS|2=3,xA>0,解得xA=.从而A(,0,1).因AD∥BC,故BC⊥平面CSD,即平面BCS与平面yOz重合,从而点A到平面BCS的距离为xA=.[能力提升]在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别为线段BD1,CC1上的动点,则PQ的最小值2为()A.B.C.D.解析:选D.PQ的最小值即为异面直线CC1,BD1间的距离,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D1(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),所以BD1=(-1,1,1),CC1=(0,0,1),设Q(1,1,z),z∈[0,1],令BP=λBD1(λ∈[0,1]),则BP=(-λ,λ,λ),∴OP=OB+BP=(1-λ,λ,λ),PQ=OQ-OP=(λ,1-λ,z-λ), ,∴,∴z=λ=,即P(,,),Q(1,1,),故|PQ|==.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD...