第1讲平面向量一、选择题1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B．－C.D.解析：因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.答案：A2．(2018·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.B.C.D.解析： a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.答案：B3．已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是()A.OA＝AB＋BCB.OA＝AB＋BCC.OA＝AB－BCD.OA＝－AB－BC解析： OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC，故选D.答案：D4．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C．－D．－解析：AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，|CD|＝5，故AB在CD方向上的投影为＝＝.答案：A5．已知向量a，b，c中任意两个向量都不共线，但a＋b与c共线，b＋c与a共线，则a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0解析： a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴可设a＋b＝λc，b＋c＝μa，两式作差整理后得到(1＋λ)c＝(1＋μ)a， 向量a，c不共线，∴1＋λ＝0,1＋μ＝0，即λ＝－1，μ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.故选D.答案：D6．已知a，b是单位向量，且a·b＝－.若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|＝()A.B．11C.D．2解析：由题意，不妨设a＝(1,0)，b＝，p＝(x，y)， p·a＝p·b＝，∴解得∴|p|＝＝1，故选B.答案：B7．(2018·沈阳质检)在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|，化简得AB·AC＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以AE＝，AF＝，所以AE·AF＝×＋×＝.答案：B8．(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.－1B.＋1C．2D．2－解析：设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|CA|－|CB|＝－1.故选A.答案：A9．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是2()A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]解析：由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又设c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故由几何性质得－1≤|c|≤＋1，即－1≤|c|≤＋1.答案：A10．在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称．若向量a＝(1，k)，则满足不等式OA2＋a·AB≤0的点A(x，y)的集合为()A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}解析：由A(x，y)可得B(－x，y)，则AB＝(－2x,0)，不等式(OA)2＋a·AB≤0可化为x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.答案：C11．(2018·广州五校联考)已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，OP＝a＋2b，则PA·PB的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：如图，设A(m,0)，B(0，n)，∴mn＝2，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，OP＝a＋2b＝(1,2)，PA＝(m－1，－2)，PB＝(－1，n－2)，PA·PB＝5－(m＋2n)≤5－2＝1，当且仅当m＝2n，即m＝2，n＝1时，等号成立．答案：A12．已知△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为边BC的中点，则|AD|等于()A．6B．5C．4D．3解析：由题知AD＝(AB＋AC)， AB·AC＝－16，∴|AB|·|AC|cos∠BAC＝－16.在△ABC中，|BC|2＝|AB|2＋|AC|2－2|AB||AC|·cos∠BAC，∴102＝|AB|2＋|AC|2＋32，|AB|2＋|AC|2＝68，∴|AD|2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)＝×(68－32)＝9，∴|AD|＝3.答案：D二、填空题13．(2018...
