课时作业23空间向量与平行关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定解析：a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b.∴l1⊥l2.答案：B2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是()A．AB∥αB．AB⊥αC．AB⊄αD．AB∥α或AB⊂α解析：由已知AB＝(－1,0,1)，AB·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0.∴AB⊥n.∴AB∥α或AB⊂α.答案：D3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－B．6C．－6D.解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.答案：B4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．答案：C5．若空间中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的关系为()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定解析：AB＝(－2，－2,2)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－2CD.∴AB∥CD.∴AB∥CD.1答案：A图16．如图1，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，从而A1M∥D1P.∴①③④正确．答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________.解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.答案：－88．若直线l的一个方向向量为a＝(1,1,1)，向量m＝(1，－1,0)及向量n＝(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α的关系为________．解析：a·m＝1×1＋1×(－1)＋1×0＝0，∴a⊥m.a·n＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0，∴a⊥n.显然m与n不平行，∴l⊥α.答案：l⊥α9．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.解析：由已知平面α的法向量为u＝(1,3，z)．而又∵v与面α平行，∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0.2解得z＝3.答案：3三、解答题(共40分)10．(10分)已知向量a＝(1,3,5)，b＝(2,4,6)，是否存在向量n，使得n与x轴垂直，且满足n·a＝12，n·b＝14?解：设存在n＝(x，y，z)满足条件，x轴的一个方向向量为(1,0,0)，由题意得解得故所求向量为n＝(0，－1,3)．11．(15分)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E(a,2a,0)，图2∵M、N分别为AE、CD1的中点，∴M(a，a,0)，N(0，a，)．∴MN＝(－a,0，)．取n＝(0,1,0)，显然n⊥平面A1D1DA，且MN·n＝0，∴MN⊥n.又MN⊄平面ADD1A1.∴MN∥平面ADD1A1.图312．(15分)如图3，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．3图4设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0,2，－1)．∵PE∥PD，∴y(－1)－2(z－1)＝0.①∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，若CE∥面PAB，则AD·CE＝0，而CE＝(－1，y－1，z)，∴0×(－1)＋2(y－1)＋0×z＝0.②由①②解得∴E的坐标为(0,1，)，即存在点E为PD的中点时，使CE∥面PAB.4
