海南省洋浦中学2012-2013学年第二学期期中考试高二年级（理科）数学试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13、；14、2ln2+1；15、6036；16、2；三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17．(本题满分12分)(1)计算22111()dxxx(2)求由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成图形的面积．解：(1)22111()dxxx(2)画出草图，如图所示．解方程组，及，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S＝[－(－x)]dx＋[(2－x)－(－x)]dx＝(＋x)dx＋(2－x＋x)dx＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|＝＋6－×9－2＋＝.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a为常数)．(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，f′(－1)＝－2a－1＝0，高二(理科)数学期中考试-参考答案第1页（共4页）题号123456789101112答案BAACACBDDDAA所以a＝－.这时，f(x)＝－x2＋2ln(1－x)，f′(x)＝－x－＝. x＜1，∴1－x＞0，x－2＜0因此，当x＜－1时f′(x)＞0，当－1＜x＜1时f′(x)＜0∴x＝－1是f(x)的极大值点．(2)f′(x)≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，f′(x)≥0即2ax－≥0.∴a≤在x∈[－3，－2]上恒成立， －x2＋x＝－(x－)2＋∈[－12，－6]，∈[－，－]∴()min＝－，a≤－.即a的取值范围为(－∞，－]．19．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)28－43此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3
