1变化的快慢与变化率[A组基础巩固]1．对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是()A．1B．－1C．0.1D．不能确定解析：函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy，必须指明在某点附近的函数改变量．答案：D2．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是()A．2B．3C．4D．5解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.故选B.答案：B3．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1>k2B．k10，所以k1>k2，选A.答案：A4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬间速度为()A．2B．1C.D.解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.答案：C5．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4解析：Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt→0时，＝16－8t－4Δt＝0.即16－8t＝0，解得t＝2.答案：B6．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为__________；函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为__________．解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的1平均变化率为＝＝，函数f(x)在[－2,3]上的平均变化率为＝＝.答案：7．质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：cm，t单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8cm/s，则常数a＝________.解析：由＝＝＝4a＋aΔt知质点M在t＝2s时瞬时速度为4a，即4a＝8，∴a＝2.答案：28．以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，ts时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．解析：∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－(v0t0－gt)＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.(1)求此物体从t＝0到t＝2时的平均速度；(2)求此物体的初速度；(3)求此物体在t＝2时的瞬时速度．解析：(1)v＝＝＝1.(2)该物体从t＝0到t＝0＋Δt时的平均速度为＝＝3－Δt，由Δt→0得t＝0时的瞬时速度为3.即此物体的初速度为3.(3)该物体从t＝2到t＝2＋Δt时的平均速度为＝－1－Δt.由Δt→0得t＝2时的瞬时速度为－1.[B组能力提升]1．某物体做直线运动，其运动规律是s(t)＝t2＋(时间t的单位：s，位移s的单位：m)，则它在4s末的瞬时速度为()A.m/sB.m/sC．8m/sD.m/s解析：∵＝＝＝Δt＋8－，∴lim＝8－＝，故选B.答案：B2．若函数f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，则x0的值是()A.B.C．1D．3解析：＝＝＝，当Δx→0时，→，2∴＝，∴x0＝.答案：A3．函数f(x)＝lnx＋1从e到e2的平均变化率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(lne2＋1)－(lne＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.答案：4．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．解析：＝＝＝－，当Δt趋于0时，＝－.答案：－5．若一个物体的运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：s(t)＝.求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初始速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解析：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)物体的初始速度v0即物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均速度为＝＝＝3Δt－18，∴当Δt趋于0时，趋于－18，∴物体在t＝0时的瞬时速度为－18m/s，即物体的初始速度为－18m/s.(3)∵物体在t＝1附近的平均速度为＝＝＝3Δt－12，∴当Δt趋于0时，趋于－12，∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.6．一水库的蓄水量与月份的关系图像如图所示，试指出大概在哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？解析：由题中图像可知，大概在6月份至8月份期间水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好，而在9月份至11月份期间水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．34
