3.1.4空间向量的坐标表示课时目标1.掌握空间直角坐标系的概念，及正确表示点、向量的坐标.2.正确进行两向量的加、减法运算.3.能正确判断两向量平行及解决有关综合问题．1．空间向量的坐标表示空间直角坐标系O—xyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上的______________，对于空间任一个向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，则有序数组__________叫向量a在空间直角坐标系中的坐标．特别地，若A(x,y,z),则向量OA的坐标为__________．2．坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝________________；a－b＝________________，λa＝________________(λ∈R)．a∥b(a≠0)⇔__________，__________，__________(λ∈R)．一、填空题1．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别为________、________、________.2.已知空间两个动点A（m,1+m,2+m），B（1-m,3-2m,3m）则的最小值为__________．3.已知在△ABC中，A(2，-5,3)，AB＝(4,1,2)，BC＝(3，－2，5)，则C点坐标为__________．4.如图所示，空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1,则＝______________.5．已知向量a＝λi＋3j－k与向量b＝4i＋j＋μk平行，则λ＝________，μ＝________.6．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4，1,3)，则直线AB与CD的位置关系是________．7.已知A(1,-1,2),B（5，-6,2），C（1,3，-1），AB在AC上的投影为______．8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.二、解答题9.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的立方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示空间直角坐标系，试写出图中各点坐标．110．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，若DB∥AC，DC∥AB，求点D的坐标．能力提升11．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．12．已知空间四点A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)和D(8，4,9)．求证：四边形ABCD是梯形．21．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，要充分分析空间几何体的结构特点，选择合适的点作为原点，合适的方向和直线作为坐标轴，以有利于问题的求解．为便于坐标系的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，应使可能多的点在坐标轴或坐标平面上．2．利用坐标解决两个向量平行的问题．3．1.4空间向量的坐标表示知识梳理1．单位向量(x，y，z)(x，y，z)2．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)b1＝λa1b2＝λa2b3＝λa3作业设计1．(－1,3,0)(－1,0，－4)(0,3，－4)2.解析∵|AB|＝＝，∴|AB|min＝＝.33．(9，－6,10)4.5．12－6.平行7．－4解析∵AB＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AC＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos〈AB，AC〉＝＝－，AB在AC上的投影为|AB|cos〈AB，AC〉＝×＝－4.8．11解析∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使AP＝k1AB＋k2AC，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，∴解得∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.9．解D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．10．解设点D的坐标为(x，y，z)，所以DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)，DC＝(－x，－y,2－z)，AB＝(－1,1,0)．因为DB∥AC，DC∥AB，所以DB∥AC且DC∥AB.所以解得所以点D的坐标为(－1,1,2)．11．解∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，∴＝＝，∴λ＝0，μ∈R，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行．12．证明依题意：OA＝(－2,3,1)，OB＝(2，－5,3)，所以AB＝OB－OA＝(2，－5,3)－(－2,3,1)＝(4，－8,2)．同理DC＝(2，－4,1)，AD＝(10,1,8)，BC＝(8,5,7)．由AB＝2DC可知，AB∥DC，|AB|≠|DC|.又AD与BC无公共点，所以四边形ABCD为梯形．4
