（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 第18课 利用导数研究函数的单调性要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第三章第18课利用导数研究函数的单调性要点导学要点导学各个击破利用导数研究函数的单调性求下列函数的单调区间:(1)y=x3-12x2-2x+5;(2)y=2x2-lnx.[思维引导]多项式的单调区间由多项式的导数的正负决定.[解答](1)y'=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).令y'>0,得x∈2-,-3∪(1,+∞).令y'<0,得x∈2-,13.所以函数的单调增区间为2-,-3,(1,+∞),单调减区间为2-,13.(2)因为y'=4x-1x=24-1xx,定义域为(0,+∞),令y'<0,得x∈10,2,令y'>0,得x∈1,2.所以函数的单调增区间为1,2,单调减区间为10,2.(1)函数f(x)=x3-4x2+5x+2的单调减区间是.(2)(2014·孝感模拟)函数y=(3-x2)ex的单调增区间是.[答案](1)51,3(2)(-3,1)[解析](1)f'(x)=3x2-8x+5,令f'(x)<0,得10,得-30时,令f'(x)>0,解得00,解得x<0或x>2,此时函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞).结合函数的单调性求参数(2014·武汉模拟)已知函数f(x)=2--1xx+aln(x-1)(a∈R).若f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.[思维引导]首先求出函数的导数,然后根据f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立,求出实数a的取值范围.[解答]由f(x)=-1+1-1x+aln(x-1),得f'(x)=-21(-1)x+-1ax.因为f(x)在[2,+∞)上是增函数,所以f'(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≥1-1x在[2,+∞)上恒成立,所以a≥1-1maxx.x≥2,所以0<1-1x≤1,所以a≥1.故实数a的取值范围为[1,+∞).[精要点评]由函数的单调性求参数的取值范围,这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围.(2014·全国卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,求k的取值范围.[解答]f'(x)=k-1x,由已知得f'(x)≥0在x∈(1,+∞)恒成立,故k≥1x,因为x>1,所以0<1x<1,2故k的取值范围是[1,+∞).函数单调性的应用已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.[思维引导]由图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,可以列出两个等式,求出a,b的值.[解答](1)由题意得f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).又(0)0,'(0)-(2)-3,fbfaa解得-3,0ab或1,0.ab(2)由f'(x)=0,得x1=a,x2=-23a.又因为f(x)在(-1,1)上不单调,所以-11,2-3aaa或2-1-1,32-,3aaa解得-5