2.2直线和圆的参数方程课时过关·能力提升1若直线的参数方程为{x=√3+12t,y=3-√32t,则此直线的斜率为()A.√3B.−√3C.√33D.−√33解析:直线的参数方程为{x=√3+12t,y=3-√32t,可化为{x=√3+(-t)cos120°,y=3+(-t)sin120°,故直线的倾斜角为120°,斜率为−√3.答案:B2对于参数方程{x=1-tcos30°,y=2+tsin30°和{x=1+tcos30°,y=2-tsin30°,下列结论正确的是()A.是倾斜角为30°的两条平行直线B.是倾斜角为150°的两条重合直线C.是两条垂直相交于点(1,2)的直线D.是两条不垂直相交于点(1,2)的直线解析:因为参数方程{x=1-tcos30°,y=2+tsin30°可化为{x=1+tcos150°,y=2+tsin150°,所以其倾斜角为150°.同理,参数方程{x=1+tcos30°,y=2-tsin30°可化为{x=1+(-t)cos150°,y=2+(-t)sin150°,所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.答案:B3直线{x=2+3t,y=-1+t上对应t=0,t=1两点间的距离是()1A.1B.√10C.10D.2√2解析:因为题目所给方程不是直线参数方程的标准形式,参数t不具有几何意义,故不能直接由1-0=1来得距离,应将t=0,t=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0),由两点间距离公式来求出距离,即√(2-5)2+(-1-0)2=√10.答案:B4已知P(x,y)是曲线{x=2+cosα,y=sinα¿≤α≤2π)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.36B.6C.26D.25解析:由参数方程,可知(x-2)2+y2=1,则该曲线为圆,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),所以|OM|¿√(5-2)2+(-4-0)2=5.故(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.答案:A5过点M(2,1)作曲线C:{x=4cosθ,y=4sinθ¿≤θ≤2π)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为()A.y-1=−12(x−2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=−12(x−1)D.y-2=-2(x-1)解析:把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心O在原点,半径r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.因为kOM¿12,所以弦所在直线的斜率为-2,故直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B6过原点作倾斜角为θ的直线与圆{x=4+2cosα,y=2sinα相切,则θ=.解析:易知直线的斜率存在,直线为y=xtanθ,圆为(x-4)2+y2=4.当直线与圆相切时,易知tanθ=±√33,故θ=π6或5π6.答案:π6或5π627曲线C:{x=cosθ,y=-1+sinθ¿≤θ≤2π)的普通方程是.如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是.解析:∵{x=cosθ,y=-1+sinθ,∴x2+(y+1)2=1.∵圆与直线有公共点,∴圆心到直线的距离d¿|0-1+a|√2≤1,解得1−√2≤a≤1+√2.答案:x2+(y+1)2=1[1−√2,1+√2¿8过点(6,7),倾斜角α的余弦值是√32的直线l的参数方程为.解析:∵cosα¿√32,∴sinα=12.∴直线l的参数方程为{x=6+√32t,y=7+12t.答案:{x=6+√32t,y=7+12t9已知直线l经过点P(1,-3√3¿,倾斜角为π3,求直线l与直线l':y=x−2√3的交点Q与点P的距离∨PQ∨.分析根据题意写出l的参数方程,代入l'的方程求出t的值,再利用其几何意义求出距离.解:因为l过点P(1,-3√3¿,倾斜角为π3,所以l的参数方程为{x=1+tcosπ3,y=-3√3+tsinπ3,即{x=1+12t,y=-3√3+√32t.代入y=x-2√3,得-3√3+√32t=1+12t−2√3,解得t=4+2√3,3即t=4+2√3为直线l与l'的交点Q所对应的参数值,根据参数t的几何意义,可知|t|=|PQ|,故|PQ|=4+2√3.★10已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α¿π6.(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于点A和点B,求点P到A,B两点的距离之积.分析利用定义求出参数方程,再利用t的几何意义求出距离之积.解:(1)因为直线l过P(1,1),且倾斜角α¿π6,所以直线l的参数方程为{x=1+√32t,y=1+12t.(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数分别为t1,t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,得(1+√32t)2+(1+12t)2=4,整理,得t2+(√3+1)t−2=0.设t1,t2是方程t2+(√3+1)t−2=0的根,所以t1t2=-2.故|PA|·|PB|=|t1t2|=2.所以点P到A,B两点的距离之积为2.4
