课时分层作业(十)双曲线及其标准方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A．－＝1B．－＝1(x≥4)C．－＝1D．－＝1(x≥3)D[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]2．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线A[设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．]3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－y2＝1D．x2－＝1C[由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C．]4．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋mD．2a＋4mB[由题意知即且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m．]5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6B．12C．12D．24C[由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4．由|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0，∴△PF1F2为直角三角形，∴S＝×6×4＝12．]二、填空题6．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．[如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．]7．以椭圆＋＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．－＝1[由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5．故所求双曲线的标准方程为－＝1．]8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．－＝1(x≤－2)[设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]三、解答题9．如图所示，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．[解]法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4．∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2．∴曲线C的方程为－＝1．法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4．∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝b2＝2．∴曲线C的方程为－＝1．10．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且MQ＋2QF＝0，求直线l的斜率．[解](1)依题意，得解得于是，所求双曲线的方程为－＝1．(2)因为点F的坐标为(2，0)，所以可设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)．设Q(x0，y0)，由MQ＋2QF＝0，得(x0，y0＋2k)＋2(2－x0，－y0)＝(0,0)，即(4－x0,2k－y0)＝(0,0)，故又Q是双曲线上的一点，所以－＝1，即－＝1，解得k2＝，所以k＝±．故直线l的斜率为±．1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的...
