高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性课后导练 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

3.3.1利用导数判断函数的单调性课后导练基础达标1.已知f(x)=x2+2xf′(-1)，则f′(0)等于…()A.0B.+4C.-2D.2解析：f′(x)=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(-1)=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f′(0)=+4.答案：B2.设f(x)在(a,b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的________条件()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：A3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则()A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<0解析：f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立.因为a>0,则Δ=4b2-4·3ac<0,即b2-3ac<0.答案：D4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()A.)23π,2π(B.(π,2π)C.)25π,23π(D.(2π,3π)解（直接法）：y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时，sinx<0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0);x<0时，sinx>0,则x∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目知应选B.答案：B5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=1xa在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1］C.(0,1)D.(0,1］解法一(直接法)：g′(x)=2)1(xa,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在［1,2］上为减函数，则有a≤1.再由条件知g′(x)=2)1(xa<0,∴a>0.综上，00)的增区间为__________.答案：(3b,+∞)7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是__________.解析：f′(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数，∴f′(x)>0在R上恒成立，即3x2+2x+m>0.由Δ=4-4×3m<0,得m>31.答案：m>318.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0，3)，则m=__________.解析：f′(x)=3x2-2mx,∵f(x)的递减区间是(0，3)，∴0，3是3x2-2mx=0的根，∴0+3=32m,∴m=29.答案：299.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P(x,y)在该曲线上移动，过P的切线设为l.(1)求证：此函数在R上单调递增；(2)求l的斜率的范围.答案：(1)证明：y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R上递增.(2)解：由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l的斜率的范围是k≥3.10.(2004全国高考Ⅱ，文19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.解：f′(x)=3ax2+6x-1.(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-31)3+98,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.综合运用11.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a2+a+1)0∴f(x)在(-∞，0)上为增函数又f(x)为偶函数2∴f(x)在(0，+∞)上为减函数且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1)∴原不等式可化为f(2a2+a+1)03a2-2a+1>0恒成立∴2a2+a+1>3a2-2a+1解得00,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间，与原条件矛盾，若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+a31－)(x-a31－),综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(-∞,-a31－)和(a31－,+∞),增区间为(-a31－,a31－).13.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1，求f(x)的单调区间.解：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.(1)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞，+∞)上单调递增.当a>1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(-∞,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞))(xf+0-0+f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在（-∞,0）上单调递增；在（0,a-1）上单调递减；在（a-1,+∞）上单调递增.拓展探究14.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.(1)求b、c的值；(2)求g(x)的单调区间.解析：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx,∴f(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,所以g(0)=0得c＝0,由奇函数定义得b=3.(2)由（1）知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-∞,-2)和(2,+∞)是函数g（x）的单调递增区间；3（-2,2）是函数g(x)的单调递减区间.4