3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量课时过关·能力提升1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.√22B.√155C.√64D.√63解析:设BC的中点为D,则AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角.在Rt△ADC1中,AD¿√32AB,AC1=√2AB,所以sin∠AC1D¿ADAC1=√64.答案:C2.已知AB⊥平面α于B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为()A.90°B.60°C.45°D.30°解析:设AC和平面α所成的角为θ,则cos60°=cosθcos45°,故cosθ¿√22,所以θ=45°.答案:C3.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角()A.相等B.互补C.关系无法确定D.相等或互补答案:D4.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC¿12a,这时二面角B−AD−C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:∠BDC就是二面角B-AD-C的平面角,易知△BCD为等边三角形,则∠BDC=60°.答案:C★5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是()A.90°B.60°C.45°D.30°解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.答案:C6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为.解析:cos¿v·u|v||u|=-3√6×√6=−12,∴sinθ¿12¿l与α的夹角).∴θ=30°.答案:30°17.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为.解析:作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM,则∠CAD=30°,CD¿12AC,CM=AM=√22AC,所以sin∠CMD¿CDCM=√22,故∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°.答案:45°★8.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA¿√6,那么二面角P−BC−A的大小为.解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角.易知∠PDA=90°.答案:90°9.在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,AB=BC=2√3,求AC与平面PBC所成角的大小.分析:本题可以建立适当坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.解:由题意PA=PB=PC,点P在△ABC内的射影O为△ABC的外心,即点P在△ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC⊥面ABC,所以O为AC的中点,且∠ABC=90°,以O为原点,⃗OB,⃗OC,⃗OP为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0,√3¿,B(√6,0,0),C(0,√6,0),A(0,−√6,0).设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=(√2,√2,2),⃗AC=(0,2√6,0).设AC与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos¿=4√38√3=12,所以θ=30°.故AC与平面PBC所成角的大小为30°.★10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF¿23FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF,求二面角A'-FD-C的余弦值.分析:本题可以建立适当的直角坐标系,利用平面的法向量来求;也可作出二面角的平面角来求.解法一取线段EF的中点H,连接A'H,2由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,所以A'H⊥EF.又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H⊂平面A'EF,所以A'H⊥平面BEF.如图建立空间直角坐标系Axyz,则A'(2,2,2√2¿,C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故⃗FA'=(−2,2,2√2),⃗FD=(6,0,0).设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,所以{-2x+2y+2√2z=0,6x=0.取z¿√2,则n=(0,-2,√2¿.又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),故cos¿n·m|n||m|=√33.所以二面角A'-DF-C的余弦值为√33.解法二取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A'G,A'H,GH.由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,所以A'H⊥EF.又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H⊂平面A'EF,所以A'H⊥平面BEF.又AF⊂平面BEF,故A'H⊥AF.又因为G,H分别是AF,EF的中点,易知GH∥AB,所以GH⊥AF,于是AF⊥平面A'GH,所以AF⊥A'G.3所以∠A'GH为二面角A'-DF-C的平面角.在Rt△A'GH中,A'H=2√2,GH=2,A'G=2√3,所以cos∠A'GH¿√33,故二面角A'-DF-C的余弦值为√33.4
