第12讲椭圆1.已知集合A={x∨x-2x-1≥0},B={x|x>t}.若A∪B=R,则实数t的取值范围是.2.(2018扬州高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离为.3.(2018常州教育学会学业水平检测)已知实数x,y满足{x-y≤0,2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,则x+y的取值范围是.4.(2018溧水中学月考)函数f(x)=2x+92x+1的最小值为.5.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120°的等腰三角形,则椭圆的离心率为.6.(2017镇江高三期末)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为√6,则该正四棱锥的体积为.7.已知平面内的四点O,A,B,C满足⃗OA·⃗BC=2,⃗OB·⃗CA=3,则⃗OC·⃗AB=.8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的交点A,B,C满足OA+OC=2OB,则φ=.9.(2017兴化第一中学高三年级月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.求证:(1)PA∥平面QBD;(2)BD⊥AD.12答案精解精析1.答案(-∞,1)解析集合A=(-∞,1)∪[2,+∞),B=(t,+∞),A∪B=R,则t<1.2.答案6解析抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则1+p2=4,p=6.故该抛物线的焦点到准线的距离p=6.3.答案[43,8]解析不等式组对应的平面区域是以点(23,23),(0,2)和(4,4)为顶点的三角形,当x+y经过点(23,23)时取得最小值43,经过点(4,4)时取得最大值8,故x+y的取值范围是[43,8].4.答案5解析f(x)=(2x+1)+92x+1-1≥2√9-1=5,当且仅当2x+1=92x+1,即x=1时,取等号,则最小值是5.5.答案√32或√3-12解析若以F1F2为底边,则点P为短轴的一个端点,则e1=ca=sin60°=√32;若以F1F2为一条腰,则不妨设|PF1|=2√3c,|PF2|=2c.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2√3c+2c=2a,此时离心率e2=ca=1√3+1=√3-12.6.答案83解析正四棱锥的高h=√(√6)2-(√2)2=2,则体积V=13×22×2=83.7.答案-5解析由⃗OA·⃗BC=⃗OA·(⃗OC-⃗OB)=⃗OA·⃗OC-⃗OA·⃗OB=2,⃗OB·⃗CA=⃗OB·(⃗OA-⃗OC)=⃗OB·⃗OA-⃗OB·⃗OC=3,两式相加,可得⃗OA·⃗OC-⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗BA=5.故⃗OC·⃗AB=-⃗OC·⃗BA=-5.38.答案3π4解析设A(x,0),最小正周期T=2πω,则C(x+T2,0),B(x-T2,0).由OA+OC=2OB,得x+x+T2=2(T2-x).解得x=T8.所以y=f(-T8)=sin(-2πT×T8+φ)=sin(φ-π4)=1.又0<φ<π,所以φ=3π4.9.证明(1)如图,连接OQ.因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC.又PQ=2QC,所以PA∥OQ.又OQ⊂面QBD,PA⊄面QBD,所以PA∥平面QBD.(2)在平面PAD内过P作PH⊥AD于H,如图.因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,所以PH⊥BD.又PA⊥BD,且PA∩PH=P,PH⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,所以BD⊥平面PAD.又AD⊂平面PAD,所以BD⊥AD.45
