第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法A级基础巩固一、选择题1．若“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中，至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：因“a，b，c是不全相等的正数”，则“a≠c，b≠c，a≠b”可能同时成立．所以③不正确，①，②正确．答案：C2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A．bB．－bC.D．－解析：函数f(x)的定义域为{x|－10B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D.<解析：在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由于bcosC＋ccosB＝asinA，所以asinA＝a，从而sinA＝1.由A∈(0，π)，得A＝，所以△ABC为直角三角形．答案：B二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sinA>sinB的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理＝，从而sinA>sinB.因此A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：法一因为a，b是正数，且a＋b＝1，所以a＋b≥2，所以≤，所以＋＝＝≥4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．法二因为a，b是正数，所以a＋b≥2>0，＋≥2>0，所以(a＋b)≥4.又a＋b＝1，所以＋≥4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．法三＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f为偶函数．证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．∴f(x＋1)＝f(－x)则y＝f(x)的图象关于x＝对称2∴－＝，∴a＝－b.则f(x)＝ax2－ax＋c＝a＋c－∴f＝ax2＋c－为偶函数．B级能力提升1．不相等的三个数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列，而非等差数列B．成等差数列，而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列解析：由题设得由②得a＝，由③得c＝，代入①得＋＝2b，所以x2＋y2＝2b2，故x2，b2，y2成等差数列．答案：B2．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当n为偶数时，则a＜2－恒成立，所以a＜2－＝.①当n为奇数时，则a＞－2－恒成立．又－2－＜－2，因此a≥－2.②由①②知，－2≤a＜.答案：3．(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明：(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.3(2)设FC的中点为I，如图，连接GI，HI，在△CEF中，因为G、I分别是CE、CF的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.4
