高二数学二项式定理知识精讲人教版一.本周教学内容：二项式定理二.重点、难点1.二项式定理2.（a＋b）n的展开式的性质3.二项式系数的性质3.关于通项公式4.（1＋α）n的近似计算【典型例题】例1.设（4x－1）200＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a200x200，求：（1）展开式中二项式系数之和；（2）展开式中各项系数之和；（3）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a200|；（4）展开式中所有偶数项系数之和；（5）展开式中所有奇数项系数之和．解：（1）；（2）令x＝1，a0＋a1＋a2＋…＋a200＝（4－1）200＝3200；（3）令x＝－1，｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a200｜＝（－4－1）200＝5200．例2.（1）求（1＋x）2·（1－x）5展开式中x3的系数．（2）求（x－1）－（x－1）2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1）5的展开式中x2的系数。（1）分析一：变换→部分展开→确定系数．解法一：（1＋x）2·（1－x）5＝（1－x2）2·（1－x）3＝（1－2x2＋x4）·（1－3x＋3x2－x3）∴x3系数＝1×（－1）＋（－2）×（－3）＝5其中（r∈{0，1，2}，k∈{0，1，2，3，4}，令k＋r＝3．用心爱心专心（2）解一： a1＝（x－1），q＝－（x－1），S5＝（x－1）－（x－1）2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1）5∴展开式中x2的系数为－20解二：展开式中的系数为：例3.（1）求展开式中的有理项。（2）求（1＋2x）4（1－x）5展开式中按升幂排列的前三项．（1）分析：先明确求展开式中的哪几项，进而求出这些项．解：展开式中的有理项，即为通项公式中x的指数为整数的项．∴r＝3或r＝9（2）分析：展开式中按升幂排列的前三项应是常数项、一次项、二次项，一般都是将（1＋2x）4和（1－x）5分别按升幂展开，然后求它的乘积的前三项．解：（1＋2x）4＝1＋4×（2x）＋6×（2x）2＋…（1－x）5＝1＋5×（－x）＋10（－x）2＋…（1＋2x）4（1－x）5＝（1＋8x＋24x2＋…）（1－5x＋10x2－…）＝1＋3x－6x2＋…所以展开式中按升幂排列的前三项是1，3x，－6x2．（3）解：设第r＋1项的系数绝对值tr＋1最大，则tr＋1≥tr且tr＋1≥tr＋2．用心爱心专心即3.262…≤r≤4.263…， r∈N，∴r＝4．所求的项为T5＝105000x6y4．令3－r－2k＝0，并考虑到r∈{0，1，2，3}，k∈{0，1，…，3－r}，得r＝1，k＝1或r＝3，k＝0，将它们代入（i）式，求得常数项为例4.（1）求199911除以8的余数．（2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001。（1）解： 1999＝2000－1＝8×250－1∴199911＝（8×250－1）11由上面展开式可知199911除以8的余数是7．（2）分析：求0.9986的近似值一般都是把它化为（1－0.002）6，再用二项式定理展开．解：0.9986＝（1－0.002）6＝1＋6·（－0.002）＋15·（－0.002）2＋…＋（－0.002）6≈1＋6·（－0.002）＝1－0.012＝0.988说明：展开式的第三项T3＝15×（－0.002）2＝0.00006＜0.001．第三项以后的绝对值就更小了，所以从第三项起可以忽略不计用心爱心专心例5.（1）求多项式（3x4－x3－2x－3）102·（3x－5）4·（7x3－5x－1）67展开式各项系数和。（2）多项式x1000－x＋（－x3－2x2＋2）1000展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多？分析：利用多项式f（x）的系数和等于f（1）的性质求解．解：设f（x）＝（3x4－x3＋2x－3）102·（3x－5）4·（7x3－5x－1）67＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N）．其各项系数和即是a0＋a1＋a2＋…＋an．又 f（1）＝a0＋a2＋…＋an＝（3－1＋2－3）102（3－5）4·（7－5－1）67＝1×16×1＝16所以各项系数和为16（2）设f（x）＝x1000－x＋（－x3－2x2＋2）1000＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxnf（1）＝a0＋a1＋a2＋…＝1f（－1）＝a0－a1＋a2－a3＋…＝3说明：由上面的解题过程可知，上述解法适用于一般的多项式系数而与次数无关．一般地，多项式f（x）的各项系数和为f（1），奇（偶）次项系数的和为［f（1）－f（－1）］／2（［f（1）＋f（－1）］／2）【疑难解析】1.（a＋b）n的展开式的性质（1）项数为n＋1（2）各项中a、b的次数和都等于二项式的幂指数n（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n2.二项式系数的性质（1）...
