课时作业21变化率问题知识点函数的平均变化率1.若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于()A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx)2答案C解析＝＝4＋2Δx.2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A.2Δt＋4B.－2Δt＋4C.2Δt－4D.－2Δt－4答案D解析＝＝＝－2Δt－4.3．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.答案－2解析∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，∴＝＝－t.又∵＝2，∴t＝－2.4．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．答案2解析∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，∴＝＝，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．5．求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.易错点忽略Δx的取值而致错6.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A.k1>k2B.k12>1解析由平均速度的定义结合图象知3>2>1.7．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．答案4解析ΔV＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21.∴a2＋a－20＝0.∴a＝4或a＝－5(舍)．三、解答题8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．解Δx＝2－1＝1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.∴＝0.∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.9．求正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率，并比较它们的大小．解当自变量从0到0＋Δx时，设函数的平均变化率为k1，则k1＝＝.当自变量从到＋Δx时，设函数的平均变化率为k2，则k2＝＝.当Δx>0时，k1>0，k2<0，此时k1>k2；当Δx<0时，k1－k2＝－＝，∵Δx<0且Δx无限趋近于0，∴Δx－<－，∴sin<－，即sin＋1<0，∴k1－k2>0，即k1>k2.综上可得，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．34
