高中数学第1章导数及其应用1.5.3微积分基本定理互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时重点掌握微积分定理.1.导数和定积分的联系如图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s′(t).设这个物体在时间段［a,b］内的位移为s,你能分别用s(t)、v(t)表示s吗?显然,物体的位移s是函数s=s(t)在t=b处与t=a处的函数值之差,即s=s(b)-s(a).①另一方面,我们还可以利用积定分,由v(t)求位移s.用分点a=t0＜t1＜…＜ti-1＜ti＜…＜tn=b,将区间［a,b］等分成n个小区间:［t0,t1］,［t1,t2］,…,［ti-1,ti］,…,［tn-1,tn］,每个小区间的长度均为Δt=ti-ti-1=.当Δt很小时,在［ti-1,ti］上,v(t)的变化很小,可以认为物体近似地以速度v(ti-1)做匀速运动,物体所做的位移Δsi≈hi=v(ti-1)Δt=s′(ti-1)Δt=s′(ti-1).②从几何意义上看(如图),设曲线s=s(t)上与ti-1对应的点为P,PD是P点处的切线,由导数的几何意义知切线PD的斜率等于s′(ti-1),于是ΔSi≈hi=tan∠DPC·Δt=s′(ti-1)·Δt.结合图可得物体总位移s=Δsi≈hi=v(ti-1)Δt=s′(ti=1)Δt.1显然,n越大,即Δt越小,区间［a,b］的分划就越细,v(ti-1)Δt=s′(ti-1)Δt与s的近似程度就越好.由定积分的定义有s=v(ti-1)=s′(ti-1)=v(t)dt=s′(t)dt.结合①有s=v(t)dt=s′(t)dt=s(b)-s(a).上式表明,如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),那么v(t)=s′(t)在区间［a,b］上的定积分就是物体的位移s(b)-s(a).一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理.理解微积分基本定理需注意以下几个方面：1.在区间［a，b］上连续函数f(x)的定积分是一种和式的极限.2.函数f(x)在区间［a，b］上连续这一条件保证了定积分(和的极限)的存在性.3.从定积分定义可知，定积分就是和的极限f(ξi)Δx=f(x)dx，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，表示一个常数.4.若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)=f(x)，则［F(x)+C］=F′(x)=f(x)的缘故，因为f(x)dx=［F(x)+C］=［F(b)+C］-［F(a)+C］=F(b)-F(a)=F(x).所以利用f(x)原函数计算定积分时，一般只与一个最简单的，不再加任意常数C了.活学巧用1.求定积分()dx.解析：()dx=xdx+dx-dx=+lnx+=(4-1)+ln2+(-1)=1+ln2.22.设f(x)=求f(x)dx.解析：f(x)dx=x2dx+(cosx-1)dx=x3+(sinx-x)=sin1.3.求(sinx+2cosx)dx.解析：(sinx+2cosx)dx=sinxdx+2cosxdx=-cosx+2sinx=-cos-(-cos0)+2sin-2sin0=3.4.求定积分dx.解析：设y=,则x2+y2=1(y≥0).∵dx表示由曲线y=在［0,1］上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积.∴dx=.5.求定积分dx.解析：设y=,即(x-3)2+y2=25(y≥0).∵dx表示在［-2，3］上的一段与坐标轴所围成的四分之一圆的面积,∴dx=.6.证明：(1)f(x)dx=-f(x)dx；(2)设f(x)在［-a，a］上连续，那么，当f(x)是偶函数时，f(x)dx=2f(x)dx，当f(x)是奇函数时，f(x)dx=0.证明:(1)设F(x)是f(x)在［a，b］上的任一原函数，由微积分基本定理得：f(x)dx=F(b)-F(a)，右=-［F(a)-F(b)］=F(b)-F(a)∴左=右，即f(x)dx=-f(x)dx.(2)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx在左端第一个积分中，令x=-t，则f(x)dx=-f(t)dt=f(-x)dx3于是f(x)dx=［f(x)+f(-x)］dx当f(x)为偶函数时，f(x)=f(-x);当f(x)为奇函数时，f(x)=-f(-x)，从而得到所需的结果.7.有一直线与抛物线y=x2相交于A、B两点，AB与抛物线所围图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程.解析：设抛物线y=x2上的两点为A(a,a2),B(b,b2)，不妨设b＞a,直线AB与抛物线所围成图形的面积为S，则S=［(a+b)x-ab-x2］dx=()=(b-a)3当S=,即(b-a)3=时，有b-a=2(*)设AB的中点P(x,y)，则x=,y=由(*)式得消去a得y=x2+1∴所求P点轨迹方程是：y=x2+1.4
