【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法初步、复数第3讲数学归纳法及其应用练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2.答案an＝n22.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.给出以下说法：①n＝4时该命题成立；②n＝4时该命题不成立；③n≥5，n∈N*时该命题都成立；④可能n取某个大于5的整数时该命题不成立.现已知n＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________.解析显然①，②错误，由数学归纳法原理知③正确，④错.答案③3.已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2.则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.答案345n＋14.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立.答案k＋25.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边________(填序号).①增加了一项：；②增加了两项：，；③增加了两项：，，又减少了一项：；④增加了一项：，又减少了一项：.解析当n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋.答案③6.(2015·九江模拟)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________.解析因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*).答案f(2n)>(n≥2，n∈N*)7.已知f(n)＝＋＋＋…＋，给出以下说法：①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋；②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋；③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋；④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋.则上述说法正确的序号是________.答案④8.(2015·济南模拟)已知数组，，，，…，，….记该数组为：(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，…，则a200＝________.1解析通过观察数组可以发现，第n组数中共有n个数，每个数的分子与分母的和等于n＋1，又因为1＋2＋…＋19＝190<200，故a200应该是第20组中的第10个数，故应为.答案二、解答题9.(2016·南京质检)数列{2n－1}的前n项组成集合An＝{1，3，7，…，2n－1}(n∈N*)，从集合An中任取k(k＝1，2，3，…，n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，记Sn＝T1＋T2＋…＋Tn.例如：当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1，3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7.(1)求S3；(2)猜想Sn，并用数学归纳法证明.解(1)当n＝3时，A3＝{1，3，7}，T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，所以S3＝11＋31＋21＝63.(2)由S1＝1＝2－1，S2＝7＝23－1＝2－1，猜想Sn＝2－1，下面用数学归纳法证明：①易知当n＝1时成立；②假设当n＝k时，Sk＝2－1，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝T1＋T2＋…＋Tk＋1＝[T1′＋(2k＋1－1)]＋[T2′＋(2k＋1－1)T1′]＋[T3′＋(2k＋1－1)T2′]＋…＋(2k＋1－1)Tk′(其中Ti′(i＝1，2，…，k)为n＝k时所有可能的k个数的乘积的和Tk)＝(T1′＋T2′＋T3′＋…＋Tk′)＋(2k＋1－1)＋(2k＋1－1)·(T1′＋T2′＋T3′＋…＋Tk′)＝Sk＋(2k＋1－1)＋(2k＋1－1)Sk＝2k＋1·＋(2k＋1－1)＝2k＋1·2－1＝2－1，即当n＝k＋1时，Sk＋1＝2－1成立.综合①②知，对任意的n∈N*，Sn＝2－1成立.所以Sn＝2－1.10.(2016·苏、锡、常、镇一模)圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，An(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为an.(1)写出a2，a3，a4的值；(2)写出an的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)a2＝6，a3＝6，a4＝18.(2)an＝2n＋2·(－1)n(n∈N*，n≥2).(*)证明如下：①当n＝2时，a2＝6，符合(*)式.②假设当n＝k时，(*)式成立，即ak＝2k＋2·(－1)k成立，那么当...
