复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．柯西不等式的易错点．在应用柯西不等式求最值时，易忽视等号成立的条件．2．排序不等式的易错点．不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是错误的．专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来求最值，还可以用来证明不等式．[例❶]已知实数x，y，z满足x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值．解：因为(x＋2y＋3z)2＝(x·1＋y·＋z·)2≤[x2＋(y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18
当且仅当＝＝，即x＝y＝z时，等号成立．所以－3≤x＋2y＋3z≤3，即u的最小值为－3，最大值为3
归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件．[变式训练]设a，b，c，d为不全相等的正数．1求证：＋＋＋>
解：记s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于＋＋＋>
构造两组数，，，；，，，，由柯西不等式得[()2＋()2＋()2＋()2]·≥(1＋1＋1＋1)2
即[4s－(a＋b＋c＋d)]·≥16，于是＋＋＋≥，等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d
因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号，即＋＋＋>
专题二排序不等式的应用1．用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．2．注意等号成立的条件．[例❷]在△ABC中，试证：≤＜
证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C
由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC
