高中数学第1章导数及其应用1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.如果一个质点从定点A处开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.那么,当t1=4时,Δy=_____________,=_____________.思路解析：主要利用Δy=f(t0+Δt)-f(t0)=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt3+48Δt+12Δt2=0.013+48×0.01+12×0.012=0.481201.∴=48.1201.答案:0.48120148.12012.在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的速度为___________.思路解析：由导数的定义知在t=20时的瞬时速度为v===10+10t+Δt.当Δt趋近于0时,v趋近于10+10t,即v=10×20+10=210.答案:210m3.若一物体运动方程如下:则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为____________、____________.思路解析：因为t=1时,0≤t＜3,所以此时s=3t2+1.v=.当Δt趋于0时,v趋近于6,所以v=6.因为t=3时,t≥3,所以此时s=2+3(t-3)2.v==3Δt.当Δt趋近于0时,v趋近于0,所以v=0.所以物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为6和0.答案:604.曲线y=x2的一条切线的斜率为-6,则切点坐标为___________.思路解析：因为=2x+Δx,当Δx趋近于0时,趋近于2x,所以斜率为2x.当2x=-6时,x=-3,y=(-3)2=9,所以切点坐标为(-3,9).答案:(-3,9)5.如果某物体做运动，方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位为m,t的单位为s),那么其在1.2s末的瞬时速度为()A.-0.88m/sB.0.88m/sC.-4.8m/sD.4.8m/s思路解析：在1.2s时的瞬时速度即为s在1.2处的导数,利用导数定义1=-4t-2Δt,当Δt趋近于0时,-4t-2Δt就趋近于-4t,所以t=1.2时的瞬时速度为-4×1.2=-4.8m/s.答案:C6.设函数f(x)在x=x0处的导数不存在,则曲线y=f(x)()A.在点［x0,f(x0)］处的切线不存在B.在点［x0,f(x0)］处的切线可能存在C.在点x0处不连续D.在x=x0处连续思路解析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率，深刻理解概念是正确解题的关键.答案:B我综合我发展7.设f(x)在点x=x0处可导,且f′(x0)=-2,则趋近于__________.思路解析：因为,而答案:-28.设f(x)在R上可导,求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数之间的关系.思路分析：导数的概念仍是此题解题的关键,可见正确理解导数定义对解题是很有帮助的.解:记f(-x)=g(x),则f(-x)在a处的导数为g′(a),因为,当x趋近于a时,g′(a)=,令x=-t,则当x趋近于-a时，即t趋近于a.f′(-a)=.这说明f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.9.函数在某点存在切线是否在该点一定可导?反之成立吗?思路分析：一般地，如果函数y=f(x)的图象在xo处出现尖点,如下图中的(1)，则它在该点不可导,这时曲线y=f(x)在(x0,y0)处的切线不存在,此时如果函数y=f(x)在x0处连续,而Δx趋近于0时,趋近于无穷大,如图(2),则f(x)在x0处不可导,而此时曲线y=f(x)在(x0,y0)处的切线垂直于x轴.2解：y=f(x)的图象在x0处的切线垂直于x轴的函数，因此函数f(x)在x0处可导的几何意义是：曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有不垂直于x轴的切线，故我们得到函数在某点存在切线，不一定可导，反之是成立的.3
